1、奥数专题 时钟问题奥数专题 时钟问题第一部分 基础知识点部分【开门见山 这一段话多半录自XX百科】时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。不同在于时钟问题有别于其他行程问题是：它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟：1.整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度；时针速度：每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度速度差：每分钟6-0.5=5.5度；每分钟1-1/
2、12=11/12小格2.需要注意的是在许多时钟问题中，往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比例关系，在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。当你做过一个题目后，这个十字交叉法其实没有啥精妙之处，与浓度问题中的十字交叉类似，实际就是个一元一次方程变种格式而已。【温故知新】追击问题的三个特点：同时出发；同向而行；同时停止。追击问题的重要公式：路程差除以时间差=追击时间。常用的等量关系：快者路程-慢者路程=距离；在实际题目中，路程差相对变化多一些，主要的类型有：重合问题（路程）例如：时钟问题需要记住标准的钟，时
3、针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65又11分之5 分。 认识钟面：时钟问题解法与算法公式：时钟问题的关键点：时针每小时走30度;分针每分钟走6度分针走一分钟（转6度）时，时针走05度，分针与时针的速度差为55度。*第二部分 以知促行【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：A1次 B2次 C3次 D4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为次，还要验证：根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/55= 16又4/1160，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/55 = 49又1/1160，表示经过
4、49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为-。【解法1】时针1011点之间的刻度应和分针2025分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以【解法2】常规方法设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为05（3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为05（3）+1030度。所谓“时针与分针成一条直线”即05（3）+10306
5、（+6）=180度，解得=15分钟。 著名数学难题：时钟的时针和分针（了解）由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，介绍几例，研究解法。例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12xx=60m，其中m=1，2，
6、度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出它们 :如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5210（小格）。而分针每分钟可追及1（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10）分钟。解： （52）（1）1010（分）答：2点10分时，两针重合。2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针
7、与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5420（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（2030）小格。解： （5430）（1）5054（分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后515小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5115）小格或追及（5145）小格。解： （5115）（1）2021（分
8、）或（5145）（1）5054（分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（030）（1）3032（分）即12点32分。第二次成一条直线时刻是：（5130）（1）3538（分）即 1点38分。第三次成一条直
9、线的时刻是：（5230）（1 ）4043（分）即 2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27。解： 5（1712） 27 （分） 2730（分）答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小
10、格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。【其他例题】例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要
11、第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/1
12、1分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针
13、比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段
14、时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180也是22次。【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）
15、A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度答案D解析清晨5点时，时针和分针相差5格，则530150。【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13答案B解一从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。因此，时针与分针重合了11次。选择B。解二根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分
16、？（） #中国公务员考试信息网 A. 51 B. 47 C. 45 D. 43答案A解析根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/122，得到T24/13小时，约合1小时51分。【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A. 10点15分 B. 10点19
17、分 C. 10点20分 D. 10点25分答案A解析代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式TT0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。例5 从钟表的12点整开始，时针与分针的第一
18、次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟 答案C解析从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T045（分钟），根据公式，其间隔时间TT0+T0/1149（分钟）。【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?（）A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次答案B解一从12时到13时，时针旋转了30；分针旋转了360。分针与时针所成的角度从0变化到330（其中包括90和270），因此有2次成直角的机会。选择B。解二根据公式：从12点开始算，时针与分针成直
19、角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？（）A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分答案B解析根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。 强华公务员 【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分答案B解一根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追及时
20、间为 30+3011=32811分钟，所以选择B。解二根据基本知识点：时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：246044=32811分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准比”，按比例计算。【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?（）A. 11点整 B. 11点5分 C. 11点10分 D. 11点15分答案C解析标准比：标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。此时，慢钟从4点30分走到10点50分，一共走了6小时20分，合380
21、分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x380=6057，可得：x400（分钟）。说明标准时间比慢钟快400-38020分钟，慢钟走到了10点50分，实际上应该是11点10分了。【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是多少？（） A. 9点15分 B. 9点30分 C. 9点35分 D. 9点45分答案D解析快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为13。假设现在是9点x分（快钟显示10点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）（x-0）1
22、3，解得：x45。所以标准时间是9点45分。 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有： 求时间差： 例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？ A.8小时 B.8小时30分 C.9小时30分 D.9小时50分 解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C 求慢（快）表在几小时后显示什么时间？ 例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是( )。 A11点整 B11点5分 c1l点1O分 D11点15分 解析：慢表显示经过的
23、时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：380（60-3）/60=400分钟=6小时40分钟，答案为C：4：30+6：40=11：10。 例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是( )。 A9点15分 B 9点30分 c9点35分 D 9点45分 解析：这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。 我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走造成的，3分钟时慢走造成的。所以当它们
24、（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，1/4的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间（45分钟）时慢走造成的。所以标准时间为9点45分，答案为D。 总结：其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢（快）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。 延伸：通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。 求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。 例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点
25、，时针与分针重合多少次？ 一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1小时时间，分针走60个小格，时针只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格。 解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题： 时针: v1=5格/小时 分针：v2=60格/小时 n*60=（v2-v1）*12 即：重合一次，多走60个格，假设重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小时多走（60-5）个格，总共走了12小时，所以多走了（60-5）*12个格。解出：n=11 例：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？ 解析：6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要
26、第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/55=6/11小时=360/11分钟。 例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？ 解析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/55小时=540/11分钟。 总结：这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度差。而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小时差55格（前面已经分析过）。所以本着这两点，这
27、类问题可以迎刃而解。 大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。 例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟? 解析：正常的钟每隔(12/11)小时=(720/11)分钟重合一次， 爷爷家的老式钟是726/11分钟重合一次，慢了6/11分钟。 每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分钟。 一昼夜共慢了1/2*24=12分钟。 时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。 例：1个小时内分针和秒针共重叠（ ）次。 A.60 B.59 C.61 D.55 这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下： 首先
28、，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻 分针和秒针都是在12上 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。58，59，60 我们来仔细分析 当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。但是在01之间却是没有重合的，因为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。从12分钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了5960分钟之间，最后是分针和秒针同时到达12上，形成了最后一次重复。在5960间隙里面也是没有重合的。 这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是01上的重合，60上的重合看作是5960之间的重合，整个
29、过程就发现就是60次。 其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了2个结果。就是看间隔。59个间隔至少有59次相遇。第一次的间隔没有。 这里有一个问题，很多人认为 当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情况来做。时钟问题经典例题详解例：现在是2 点，什么时候时针与分针第一次重合？析：2 点时候，时针处在第10 格位置，分针处于第0 格，相差10 格，则需经过10 / 11/12分钟的时间。例：中午12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？析：时针与分针重合后再追随上，只可能
30、分针追及了60 格，则分针追赶时针一次，耗时60 /11/12 720/11 分钟，而12 小时能追随及12*60 分钟/ 720/11 分钟/次=11 次，第11 次时，时针与分针又完全重合在12 点。如果不算中午12 点第一次重合的次数，应为11 次。如果题目是到下次12 点之前，重合几次，应为11-1 次，因为不算最后一次重合的次数。2. 分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60 秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60 格，每秒钟秒针比分针多走59/60 格3. 例：中午12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒
31、针追赶了60 格，则秒针追分针一次耗时，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到1 点时，总共有时间3600 秒，则能追赶，3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第59 次时，共追赶了，59 次*3600/59 秒/次=3600 秒，分针走了60 格，即经过1 小时后，两针又重合在12 点。则重合了59 次。3.时针与秒针秒针每秒走一格，时针3600 秒走5格，则时针每秒走1/720 格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。例：中午12 点，秒针与时针完全重合，那么到下次12 点时，时针与秒针重合了多少次?析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60 格，每秒钟追719/720 格，则要一次要追60 /719/7
