1、(1)设矩阵A= 满足,其中是A的伴随矩阵,为A的转置矩阵. 若为三个相等的正数,则为(A) . (B) 3. (C) . (D) . 【解】 由及,有,其中为的代数余子式,且或 而,于是,且 (2)设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . 【解】 实际上是考虑,当线性无关时,向量组,何时线性无关的问题。由结论知,当行列式时,向量组线性无关。(3)设A为n()阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵,则(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换
2、的第1列与第2列得.(D) 交换的第1行与第2行得. 【解】 由题设,存在初等矩阵(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使得 ,于是 ,即 ,可见应选(C).注意:结论.(4)设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E. (B)-E. (C)A. (D) -A 【解】 由B=E+AB,C=A+CA,知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,可见,E-A与B 互为逆矩阵,于是有 B(E-A)=E.从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A可逆,故 B-C=E. 应选(A).三、计算题(1)(本题满分9分)已知二次型的秩为2.(I) 求
3、a的值;(II) 求正交变换,把化成标准形;(III) 求方程=0的解.【解】 (I) 二次型对应矩阵为 ,由二次型的秩为2,知 ,得a=0.(II) 这里, 可求出其特征值为.解 ,得特征向量为:由于已经正交,直接将,单位化,得:令,即为所求的正交变换矩阵,由x=Qy,可化原二次型为标准形:=(III) 由=0,得(k为任意常数).从而所求解为:x=Qy=,其中c为任意常数.(2)(本题满分9分)已知3阶矩阵A的第一行是不全为零,矩阵(k为常数),且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【解】 由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,且(1)若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然
4、r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关,可作为其基础解系,故Ax=0 的通解为:为任意常数.(2) 若k=9,则r(B)=1, 从而1) 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为:2) 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为:,不妨设,则其通解为 为任意常数.(3)(本题满分13分)已知齐次线性方程组 (i) 和(ii) 同解,求a,b, c的值.【解】 法一、方程组(ii)的未知量个数大于方程个数,故方程组方程组(ii)有无穷多解.因为方程组(i)与(ii)同解,所以方程组(i)的系数矩阵的秩小于3.对方程组
5、(i)的系数矩阵施以初等行变换 ,从而a=2. 此时,方程组(i)的系数矩阵可化为故是方程组(i)的一个基础解系.将代入方程组(ii)可得 或当时,对方程组(ii)的系数矩阵施以初等行变换,有显然此时方程组(i)与(ii)同解.显然此时方程组(i)与(ii)的解不相同. 综上所述,当a=2,b=1,c=2时,方程组(i)与(ii)同解.法二、求a也可利用行列式,得a=2.本题也可这样考虑:方程组必存在无穷多解,化系数矩阵为阶梯形,可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2,再对两组数据进行讨论即可.(4)(本题满分13分)设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为矩阵.(
6、I) 计算,其中;(II)利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵,并证明你的结论.【解】 (I) 因 ,有 = = =.(II)矩阵是正定矩阵.由(I)的结果可知,矩阵D合同于矩阵又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵,故为对称矩阵. 对及任意的,有 故为正定矩阵.【评注】 判定正定矩阵的典型方法有:(1)用顺序主子式全大于0;(2)用特征值全大于零;(3)用定义. 对于抽象矩阵,一般用后两个方法.(5)(本题满分13分)设A为三阶矩阵,是线性无关的三维列向量,且满足,.(I) 求矩阵B, 使得;(II)求矩阵A的特征值;(III)求可逆矩阵P, 使得为对角矩阵.【解】 (I) ,可知 (II)因为是线性无关的三维列向量,可知矩阵可逆,所以,即矩阵A与B相似,由此可得矩阵A与B有相同的特征值.由得矩阵B的特征值,也即矩阵A的特征值 (III) 对应于,解齐次线性方程组(E-B)X=0,得基础解系 ,;对应于,解齐次线性方程组(4E-B)X=0,得基础解系 令矩阵则 因 ,记矩阵 =,故P即为所求的可逆矩阵.