1、高考数学立体几何中的建系设点问题第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何第63炼立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴z1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点2、x,y轴的选取：此为坐标是否易于写出
2、的关键，有这么几个原则值得参考：x（1）尽可能的让底面上更多的点位于x,y轴上（2）找角：x,y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手系，所以在标x,y轴时要注意。zDOyECF4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应ABJ不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。GOCy5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用xAHBI坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：如果一条直线与一个平面上
3、的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何正方形，矩形，直角梯形等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）菱形的对角线相互垂直勾股定理逆定理：若AB2+AC2=BC2，则ABAC（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的A,C,D点，坐标特点如下：x轴：(x,0,
4、0) y轴：(0,y,0) z轴：(0,0,z)规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(x,y,0)，即竖坐标z=0，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出H,I点的坐标，位置关系清晰明了1 1 2 2 2、空间中在底面投影为特殊位置的点：OCI如果A(x,y,z)在底面的投影为A(x,y,0)，那么1 1 2 2AHBx=x,y=y（即点与投影点的横纵坐标相同）1 2 1 2由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐
5、标为该点到底面的距离。例如：正方体中的B点，其投影为B，而B(1,1,0)所以B(1,1,z)，而其到底面的距离为1，故坐标为B(1,1,1)以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点中点坐标公式：A(x,y,z),B(x,y,z1 1 1 2 22222图中的H,I,E,F等中点坐标均可计算利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：
6、求A点的坐标，如果使用向量计算，则设A(x,y,z)，可直接写出A(1,0,0),B(1,1,0),B(1,1,1)，观察向量AB=AB，而AB=(0,1,0)，x-1=0 x=1 二、典型例题：例1：在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，BAC=90，D,E,F分别是棱AB,BC,CD的中点，AB=AC=1,PA=2，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标P解：PA平面ABCPAAB,PAACFBAC=90 PA,AB,AC两两垂直以AP,AB,AC为轴建立直角坐标系ACD坐标轴上的点：A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2)BE1 2 22 1 2 1 11
7、 1 2 22 2 小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。这些过程在解答题中可以省略。例2：在长方体ABCD-ABCD中，E,F分别是棱BC,CC上的点，CF=AB=2CE，1 1 1 1 1AB:AD:AA=1:2:4，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标1第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何思路：建系方式显而易见，长方体AA,AB,AD两两垂直，1A1D1本题所给的是线段的比例，如果设AB=a,AD=2a,AA=4a等，则点的坐标都含有a，不1便于计算。对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。B1C1AF解：因为长方体AB
8、CD-ABCD1 1 1 1DAB,AD,AA两两垂直1BEC2以AB,AD,AA为轴如图建系，设AB为单位长度1AD=2,AA=4,CF=1,CE=11B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),B(1,0,4),A(0,0,4),C(1,2,4),D(0,2,4)1 1 1 13 2 例3：如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1,ABC=60，CF平面ABCD，且CF=1，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。思路：本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面ABCD找过C的相互垂直的直线即可。由题意，BCD不是直角。所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出
9、两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择BC为轴），连结AC可知ADC=120 在ADC中AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC=3AC=3DFCABCB由AC= 3,BC=1,ABC=60可解得AB=2,ACB=90DACBC CF平面ABCDCFAC,CFBC A第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何以AC,CF,BC为坐标轴如图建系：方案二（以CD为轴）31DC过C作CD的垂线CM CF平面ABCD ABCFCD,CFCM以CD,CF,CM为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：CM= 3,AB=223 3 31 2小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是
10、线面垂直（即z轴），对于x,y轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足C的直线为轴建立的坐标系。例4：已知四边形ABCD满足ADBC,BA=AD=DC=1BC=a，E是BC中点，将2BAE翻折成 BAE，使得平面BAE平面1 1DAEC，F为BD中点1A DBFADB E C EC思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。本题在翻折时，BAE是等边三角形，四边形AECD为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面BAE平面AECD，结合BAE是等边三角
11、形，可取AE中点M，则可证BM平面AECD，再在四边形AECD找一组过M的垂线即可建系解：取AE中点M，连结BM第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何BAE是等边三角形BBMAEF平面BAE平面AECDADBM平面AECD，连结DM BMME,BMMDM四边形AECD为60的菱形ADE为等边三角形 ECDMAEBM,MD,ME两两垂直如图建系，设AB为单位长度AMD1 1 3 3 32 2 2 2 2 3 3F为BD中点 F0, , 4 4C，例5：如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点O,OA=4,OB=3,OP=4，且OP平面ABCD，点M为PC的
12、三等分点（靠近P）建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：由OP平面ABCD，可得OP作为z轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取OB,OC作为x,y轴。在所有点中只有M的坐标相对麻烦，对于三等分点可得1PM= PC，从而转化为向量关系即可求出M坐标3解： OP平面ABCDOPOB,OPOC菱形ABCD OBOCOP,OB,OC两两垂直以OP,OB,OC为坐标轴如图建系可得：P(0,0,4),B(3,0,0),C(0,4,0),A(0,-4,0),D(-3,0,0)1PC可得：PM= PC3 3PM=(x,y,z-4),PC=(0,4,-4)第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题
13、 立体几何 x=0 x=0 8z-4=- z=3 3小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6：如图所示的多面体中，已知正方形ABCD与直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EFBD，EDBD,AD= 2,EF=ED=1，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：题目已知面面垂直，从而可以找到DE与底面垂直，再由底面是正方形，可选AD,DC为x,y轴，图中F点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到解： 平面EFBD平面ABCD又因为直角梯形BDEF EDDBEED平面ABCD正方形ABCD ADB
14、DFED,DA,DC两两垂直以DE,DA,DC为轴建立直角坐标系DC坐标轴上的点：A(2,0,0)C(0,2,0)E(0,0,1)AB底面上的点：B(2,2,0)F点两种确定方式：2 2 2 2 , ,12 2 2 2 设F(x,y,z) EF=(x,y,z-1),DB=(2, 21 2 2 2 z-1=02,0)第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何综上所述：A(2,0,0)C(0,2,0)E(0,0,1),B(2,2,022,122例7：如图，在三棱柱ABC-ABC中，H是正方形AABB的中心，AA=22,CH1 1 1 1 1 1 1平面AABB，CH= 5，建立适当的坐
15、标系并确1 1 1定各点坐标CC1思路：CH平面AABB，从而CH可作z轴，只1 1 1 1BHB1需在平面AABB找到过H的两条垂线即可建系（两 A1 1A1种方案），对于坐标只有C坐标相对麻烦，但由CC=AA可以利用向量进行计算。1 1解：方案一：（利用正方形相邻边垂直关系建系）如图建系：则A(2,2,0)A(2,-2,0)B(-2,2,0)1 1CC1BB1B(-2,-2,0)C(0,0,5)1设C(x,y,z)，则CC=(x,y,z-5) AA=(0,-21 1HAA12,0)x=0 x=01 1z-5=0综上所述：A(2,2,0)A(2,-2,0)B(-1 12,2,0)B(-2,-
16、2,0)C(0,0,5)C(0,-22,5)1方案二：（利用正方形对角线相互垂直建系）如图建系：由AA=22计算可得AH=BH=21 1 1A(2,0,0),A(0,-2,0),B(0,2,0)1 1CC1BB1B(-2,0,0),C0,0,51设C(x,y,z)，则CC=x,y,z-51AA=(-2,-2,0)1HAA1第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何x=-2 x=-2 1 1z-5=0 z=5综上所述：A(2,0,0),A(0,-2,0),B(0,2,0),B(-2,0,0),C0,0,5,C-2,-2,51 1 1小炼有话说：本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可
17、以发现，用方案二写出的坐标相（对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。相信所给的AA=22目的1也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础例8：如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，侧棱AA底面ABCD,ABAC,AB=1,1 1 1 1 1AC=AA=2,AD=CD=5,且点M和N分别为BC和DD的中点。建立合适的空间1 1 1直角坐标系并写出各点坐标思路：由AA底面ABCD，ABAC可得AA,AB,AC两两垂直，进而
18、以它们为轴建1 1立坐标系，本题中A,B,C,D均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中D点坐标相对麻烦，1 1 1 1可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。解： 侧棱AA底面ABCD1 AAAB,AAAC1 1ABAC AB,AC,AA两两垂直1以AB,AC,AA为轴建立直角坐标系1底面上的点：B(0,1,0),C(2,0,0)由AD=CD=5可得 ADC为等腰三角形，若 P为 A BAC中点，则DPACD PDP= AD2-AP2=2D(1,-2,0) C第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何可投影到底面上的点：A(0,0,2),B(0,1,2),C(2,0,2),D(
19、1,-2,2)1 1 1 1因为M和N分别为BC和DD的中点1 11 2 综上所述：B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A(0,0,2),B(0,1,2),C(2,0,2),D(1,-2,2)1 1 1 11 2 例9：如图：已知PO平面ABCD，点O在AB上，且EAPO，四边形ABCD为直角梯形，ADBC,BCAB,BC=CD=BO=PO=2,EA=AO=坐标系并求出各点坐标D思路：由条件可得ABAD，而PO平面ABC，EAPO可得到EA平面ABCD，从而以EA,AB,AD为轴建系。难点在于求底面梯形中AB,OD的长度。可作出平面图利用平面几何知识处O理。PO平面ABCD
20、，EAPO解： EA平面ABCD12CD，建立适当的EAAB,EAADADBC,BCAB ADABAE,AD,AB两两垂直，如图建系：AOD1RtAOB中：AB=OB2-OA2=31= AOB=60BO 2ADBC BOC=AOB=60BC=BO BOC为等边三角形OC=BC=CD OCB=60C第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何DOC=60 COD为等边三角形OD=CD=2B(3,0,0)O(0,1,0),D(0,3,0),C(3,2,0)P在底面ABCD投影为O且PO=2 P(0,1,2)综上所述：B(3,0,0)O(0,1,0),D(0,3,0),C(3,2,0)P(
21、0,1,2),E(0,0,1)例10：已知斜三棱柱ABC-ABC,BCA=90,AC=BC=2,A在底面ABC上的射影1 1 1 1恰为AC的中点D，又知BAAC，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标1 1思路：本题建系方案比较简单，AD平面ABC，进而AD作z轴，再过D引AC垂线1 1即可。难点有二：一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是B的投影1不易在图中作出（需要扩展平面 ABC），第一个问题可先将高设为 h，再利用条件BAAC求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。1 1A1C1解：过D作AC的垂线DM，AD平面ABC1B1ADDC,ADDM，而DMDC1 1以AD,DC,DM为轴建立直角坐标系 A1DCA(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0)，设高为h则A(0,0,h)，设C(x,y,z)1 1则AC=(0,2,0),AC=(x,y,z-h)11x=0 x=0 1 1 C(0,2,h)1BA=(-2,-1,h),AC=(0,3,h)1 1BAACBAAC=0-3+h2=0，解得h= 31 1 1 1BADCBy=2第八章 第63炼立体几何解答题的建系设点问题 立体几何A0,0,3,C0,2,31 1设Bx,y,31 1 1而AB=(2,2,0)且AB=AB x=21 1B2,2,31综上所述
