1、（）依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 （）由已知可得 故 从而 10分例 已知数列满足， .令，证明：是等比数列； （）求的通项公式。（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，。所以。例 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解 由题意知，且两式相减得即 （）当时，由知于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得例 在数列中，, （I）设，求数列的通项公式;（II）求数列的前项和（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: （）（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模
2、型，易得 =例 已知数列的前项和为，且（为正整数）（）求出数列的通项公式；（）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.（）， 当时，. 由 - ，得. . 又 ，解得 . 数列是首项为1，公比为的等比数列. （为正整数） （）由（）知 由题意可知，对于任意的正整数，恒有，. 数列单调递增， 当时，数列中的最小项为， 必有，即实数的最大值为1 例 各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 ；求常数的值； 求数列的通项公式；记，求数列的前项和。（1）由及，得： （2）由 得 由，得 即： 由于数列各项均为正数， 即 数列是首项为，公差为的等差数列， 数列的通项公式是 （3）由，得： 例 在
3、数列（1）（2）设（3）求数列解（1） （2）对于任意 =， 数列是首项为，公差为1的等差数列. （3）由（2）得， ， 即 设 则 两式相减得， 整理得， 从而例 已知数列的首项，前n项和.（）求证：;（）记，为的前n项和，求的值.（1）由，得，-得：. （2）由求得. ， . 又，从而 （）由已知可得 故 从而 例 已知是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由.（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am2a1qm+1 = a1qm + a1qm 1在等比数列an中，a10，q0，2q2 = q +1，解得q = 1或
4、. （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + （m+1） a1=（2m+1） a1，Sm + 2 = （m+2） a1 a10，2Sm+2S m + Sm+1 若q =，Sm + 1 =Sm + Sm+1 = =2 Sm+2 = S m + Sm+1 故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. 例6 已知数列中，且对时有（）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）记，求数列的前n项和（） 证明：由条件，得，则即，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列 ，所以两边同除以，可得于是为以首
5、项，为公差的等差数列所以（），令，则而 令Tn，则2Tn，得Tn，Tn例7 已知数列满足，且当，时，有（1）求证：数列为等差数列；（2）试问是否为数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由. 证明：（1）由得即 上式两边同时除以得 又，是首项为5，公差为4的等差数列 （2）又（1）知 ，即 ， 令， 解得 所以 是数列的第11项 例8 设数列满足且（）求的值，使得数列为等比数列；（）求数列和的通项公式；（）令数列和的前项和分别为和，求极限的值（）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得又由此得由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组 消去解得 下面验证当时，数列为等比数列 ，从而
6、是公比为的等比数列同理可知是公比为的等比数列，于是为所求（）由（）的结果得，解得，（）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为； 令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为 由第（）问得， 由于数列的公比，则 ，由于，则，于是，所以例9 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；（） 正数数列中，.求数列中的最大项. （）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1
7、.（） （）证明：对任意实数和任意正整数n，总有. （）解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 例10 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,（2） （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。例12 数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列。（I）求的
8、值；（II）求的通项公式。（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以。又，故当n=1时，上式也成立，所以例13 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为 （1）求数列的通项公式 （2）若，求数列的前项和 （3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.（1）点都在函数的图像上，,当1时，满足上式，所以数列的通项公式为 （2）由求导可得过点的切线的斜率为，.由4，得-得： （3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为例14 已知是数列的前项和，且，其中. （1）求数列的通项公式；（2）求 . 又也满足上式，（）数列是公比为2，首项为的等比数列
