1、（4）实数集R用区间表示为（8,+ ）.（5）把满足x a, xa, xw a, xa的全体实数x的集合分别表示为a ,+）, （a , +）,（ 8， a ， （ 8， a） .4.函数的三要素（部分教材为二要素）函数的定义含有三个要素，它们分别是：定义域、值域和对应法则.当函数的定义域及从定义 域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个 基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.5.常见问题1）怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？解析：由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
2、定义域 和对应关系是否给出且定义域为非空数集； 根据给出的对应关系， 自变量在其定义域内任一个值， 是否都能确定唯一的函数值.2）函数f（x）与f（a）（ a是常数）有什么区别与联系?由f （a）表示当x=a时函数f （x）的值，是一个常量，而 f （x）是自变量x的函数，在一般 情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值。3）如何认识集合x|awxwb与区间a, b的区别？区间a, b 一定是无限集，且隐含 a b,集合x| a xb时，x| a0, f: xty= | x| ;（2）A= Z, B= Z, f : xty= x2;（3）A= R B= Z, f : xty=；（4
3、）A= 1,1 , B= 0 , f : xty = 0.（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是 A到B的函数；（2）对于集合 A中的任意一个整数 X,按照对应关系f : xty= x2，在集合B中都有唯一一个确 定的整数x2与其对应，故是集合 A到集合B的函数；（3）A中元素负数没有平方根，故在 B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是 A到B的函数；（4）对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f ： xty = 0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合 A到集合B的函数.点评：判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合 代B是否是非空集合（数集），其次验证对应
4、关系下，集合 A中数x的任意性，集合 B中数y的唯一性.巩 固：若集合A= x|0 w x 2 , B- y|0 w yw 3，则下列图形给出的对应中能构成从 A到B的函数f: At B的是（ ）y ； B、C均不满足函A中的对应不满足函数的存在性， 即存在x A,但B中无与之对应的数的唯一性，只有 D正确.答案：D题型二 “ f ”的含义及函数值的问题例 2 已知 f （x） = x2 6x.（1）求 f（2） , f（a+1）的值；（2）若 f（x） = 5，求 x 的值.2（1） f（2） = 2 6X 2= 8,2 2f（a+ 1） = （a+ 1） 6（ a+ 1） = a 4a 5
5、.（2） f （x） = x2 6x = 5? x= 1 或 x= 5.f下x对应的函数）代入既可；（1）在函数y = f （x）中，x为自变量，f为对应关系，f （x）是对应关系 值，所以求函数值时，只需将 f（x）的x用对应的值（包括值在定义域内的代数式（2）求ff（x）时，一般应遵循由里到外的原则. 2【巩 固 1 已知 f（x） = （x R且 x 工一1） , g（ x） = x + 2（ x R）.求:（1）f （2）、g（2）的值；（2）fg（2）的值；（3）fg（x）的解析式.（1）函数y = 3 1x的定义域为R;x0,要使函数有意义，需2x2 3x 2.010 且 x. 2
6、*故函数y=x2x2 3x 2的定义域为x|x 0, 要使函数有意义，需 2 x0,x丰0.3解得壬x2且x丰0,3 3x| 产 x由1 2x11 f （x） = 3x 1十1 2x十4的定义域是 3，2 .x+ 1工0 X 1由 |x| XK ，得 |x| 丰x, x0,两个函数的定义域不同，故不是同一函数.（2）g（x） = x,两者的定义域和对应法则相同，故是同一函数.（3）f（x）的定义域为（一R, 2） U （2 ,+）,g（x）的定义域为R故不是同一函数.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：（1）定义域不同，两个函数也就不同；（2）对应法
7、则不同，两个函数也是不同的；（3）即使是定义域和值域分别相同的两个函数， 它们也不一定是同一函数， 因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则；（4）两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关.巩 固试判断下列函数是否为同一函数：（1）f（x） = .x x + 1 与 g（x） = :x x +1 ;（2）f （x） = x2 2x 与 g（t） = t2 2t;（3）f（x） = 1 与 g（x） = x（xm0）. 是，（1）、（3）不是.对于（1） , f（x）的定义域为0 ,+）,而 g（x）定义域为（ a, 1 U 0 ,+）.（3）也是定义域不同.综合练习题A组1 .下列各
8、图中，可表示函数 y = f（x）的图象的只可能是（ ）2下列各组函数表示同一函数的是 （ ）x2 - 9.A. y = 与 y = x+ 3B.y = x2- 1 与 y= x- 1C.y = x（xm0）与 y= 1（xm0）D.y = 2x + 1 , x Z 与 y = 2x 1 , x ZC3.给出四个命题：函数就是定义域到值域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；因为f（x） = 5（x R），这个函数值不随 x的变化而变化，所以 f（0） = 5也成立；定义 域和对应关系确定后，函数值域也就确定了.以上命题正确的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3
9、个 D. 4个B组1.函数y= 的定义域为（ ）寸x + 1C. 1,+） D . （ 1，+m）2.设函数 f（x） = x 3x + 1,则 f（a） f （ a）=（ ）A. 0 B . 6aC. 2a + 2 D . 2a 6a + 2B3 下列用表给出的函数关系中，当 x= 6时，对应的函数值 y等于（ ）x0 V xWl1v x 10y4A.2 B . 3C. 4 D .无法确定4.函数 y= 3x + 1 , x 1,1的值域为 2,45函数yUR的定义域为利用解不等式组的方法求解. 1, 解得x工0.x +10, 要使函数有意义，需原函数的定义域为x| x 1且xm0.x| x
10、 1 且 xm0x+ 4 xf （ 3） = 3+ 4 = 1, f（f（ 3） = f =1 4=一 3.31 .已知集合P= x| 4 xw 4, Q= y| 2W yw 2，下列函数不表示从 P到Q的函数的是（ ）2 1A. 2y= xB. y = q（x + 4）1 2 2C. y = 4X 2 D . x = 8y 2 22.已知函数 f （x） = x + 2x + a, f （ bx） = 9x 6x+ 2,其中 x R, a, b 为常数，则方程 f （ax +b） = 0的解集为 .a= 2,b= 3.b= 9,f（ bx） = （ bx） + 2bx+ a= 9x 6x+
11、2? 2b = 6, f（2x 3） = （2 x 3） + 2（2 x 3） + 2, f（ax+ b） = 0，即为 4x 8x + 5= 0，而 0,二 y 1,故值域为y| y 1.（3）T y = x 4x+ 6= （x 2） + 2,（4）已知函数f（x）=求 f（2） + f 2 + f （3） + f 3 + f（2 012） + f 2012 的值.” x f（x） = 1+亍,1 x + 1 =2 = 1.x + 1 x + 1（3）由知，f （x） f（2） + f 2 = 1,f（3） + f 3 = 1,f（4） + f ； = 1 ,f（2 012） + f 207
12、 = 1, f（2） + f 1 + f（3） + f 1 + f（2 012） + f 207 = 2 011.5 .已知f （x）的定义域为（0,1，求g（x） = f （x+ a） f （x- a） （ a 0）的定义域.0x + aw 1,由已知得x aw 1,ax w 1 a, 即 axw 1+ a, （aW ）用数轴法，讨论（1）当a= 0时，x （0,1；当aw f时，x ?，即函数不存在；当一fa0 时，x （ a, 1 + a.课后总结：1.y = f （x），是函数符号，可以用任意的字母表示，如 y = g（x） ”.2.函数符合y = f （x） ”中的f （x）表示与x对应的函数值，f （x）是一个数，而不是f乘x.3.构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域.4.函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值，包括变成其他字母，这是函数抽象的重要原 因.5.函数的定义域包含三种形式：（1）自然型.指函数的解析式有意义的自变量 x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等 ）.（2）限制型.指命题的条件或人为对自变量 x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误.（3）实际型.解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量 x的实际意义.x x工2且XM 1
