1、双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来师：能画得比较精确点吗？(学生默然)其附近的点，比较精确地画出来但双曲线向何处伸展就不很清楚了在画其他曲线时，也有同样的问题如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的
2、趋向如何，是需要研究的问题今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题(板书课题：双曲线的渐近线)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围xa，xa是怎样得出来的？直线xa和xa的外侧我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2a2x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考)平面区域之间(含x轴部分)这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线xa，经过B2、B1作x轴的平行线yb
3、，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近下面，我们来证明这个事实双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|MN|当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON在其他象限内也可以证明类似的情况我们把两条直线叫做双曲线的渐近线现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地
4、解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线提出问题，解决问题，善始善终三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习)1求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2y24； (2) 4x2y242已知双曲线的渐近线方程为x2y0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线(练习毕，由学生回答，教师总结)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从
5、而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练四、建立法则师：
6、仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2y24；渐近线方程：2xy0双曲线方程：4x2y24；渐近线方程：2xy0双曲线方程：x24y24；渐近线方程：x2y0双曲线方程：x24y24；渐近线方程：x2y0可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律(启发学生讨论、归纳)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同生戊：应该说
7、二次项系数成比例师：大家揭示了其中的规律但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上就是两渐近线的方程实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线同样，b2x2a2y20，即 bxay0；b2y2a2x20，即 byax0所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2B2y2C(C0)它的渐近线方程是不是A2x2B2y20？回答是肯定的分情况证明一下：C0，A2x2B2y2C，故渐近线方程为也可以化成
8、 AxBy0，即 A2x2B2y20其他情况，同学们可以自己去证明反之，渐近线方程为AxBy0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2B2y2C(C0)C0，实轴在x轴上；C0，实轴在y轴上因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2B2y2C(C0)的渐近线方程是A2x2B2y20；(2)渐近线方程是AxBy0的双曲线方程是A2x2B2y2C(C0的待定常数)现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x2y0，所以双曲线方程为x24y2C 双曲线方程为x24y24 双曲线方程为x24y24建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养五、巩固应用师：前面我们讲述
9、了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习2证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤)师：解练习1的方法有两种一是直接运用定义由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究我认为这些做法都是比较自然的(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练词条图册更多图册
