1、函数的单调性 知识点与题型归纳高考明方向1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点， 常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等客 观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇 命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理名师一号P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！知识点一 函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调
2、区间的定义若函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单 调区间.注意：1、名师一号P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意 x1，x2a，b且 x10f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数2、名师一号P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别
3、写，不能用并集符号“”联结， 也不能用“或”联结知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 名师一号P16 高频考点 例 1 规律方法(1)定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是： 任取 x1、x2D，且 x10 ，则 f(x)在区间D 内为增函数；如果f (x)0 ，3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfg(x)是定义在M 上的函数，若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相同，则其复合函数 f g ( x )为增函数；若 f ( x ) 、g ( x ) 的单调性相反，则其复合函数 f g ( x )为减函数简称” 同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相
4、同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反函数单调性的应用 名师一号P17 特色专题(1)求某些函数的值域或最值(2)比较函数值或自变量值的大小(3)解、证不等式(4)求参数的取值范围或值(5)作函数图象二、例题分析：(一) 函数单调性的判断与证明例 1.(1)名师一号P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确(1)函数 f(x)2x1 在(，)上是增函数( )(2)函数 f(x)1在其定义域上是减函数( )(3)已知 f(x) x，g(x)2x，则 yf(x)g(x)在定义域 上是增函数( )答案： 例 1.(2)名师一号P16 高频考点 例 1( 1)（2014北京卷）下列函数中，
5、在区间（0，）上为增函数的 是（ ）Ay x1 By（x1）2Cy2x Dylog0.5（x1）答案：A.法一：定义法设1x1x2， 则f(x1)f(x2)x1ax11x2ax21 ax1 x21 ax2 x11 x11 x21 a x 1 x2 x11 x211x1x2， x1x20，x210.当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f ( x 1)f ( x 2) ，函数 yf(x)在(1，)上单调递增同理当 a0，即 f ( x 1)f ( x 2) ，函数 yf(x)在(1，)上单调递减法二：导数法注意 名师一号P17 高频考点 例 1 规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.
6、用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为： 取值 作差 变形判号 定论， 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视(二)求复合函数、分段函数的单调性区间 例 1.名师一号P16 高频考点 例 2(1) 求函数 yx|1x|的单调增区间； 1，x1，yx|1x| 2x1，x0.则 x3. 函数 ylog1 （x24x3）的定义域为3（ ，1） （3，）又 u x24x3 的图象的对称轴为 x2，且开口向上， ux24x3 在（，1）上是减函数， 在（3，）上是增函数而函数 ylog1 u 在（0，）上是减函数，ylog1 (x24
7、x3)的单调递减区间为(3，)， 3单调递增区间为(，1)注意 名师一号P17 高频考点 例 2 规律方法 求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间2例 2.（2）（补充） y = log1x -4log1x 2 2 1 ,+ 4 ,+ 1 0,1 4 答案：增区间：；减区间：练习: y =(log2x )2 -log2x 答案：增区间：
8、( 2, + )；减区间：(0, 2 )三)利用单调性解(证)不等式及比较大小 例 1.(1)名师一号P17 特色专题 典例(1) 已知函数 f(x)log2x 1 ，若 x1(1,2)，x2(2， )， 则( )Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0【规范解答】 函数 f(x)log2x 1 在(1，)上为增函数，且 f(2)0，当 x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.例 1.(2)名师一号P17 特色专题 典例(2) x24x3，x0， 已知函数f(x) x x24x2x3，3，xx0，0， 则不等式 f(a24)f(3
9、a)的解集为( )A(2,6) B(1,4) C(1,4) D(3,5)【规范解答】作出函数 f(x)的图象， 如图所示，则函数 f(x)在 R 上是 单调递减的由 f(a24)f(3a)， 可得 a243a，整理得 a23a40， 即(a1)(a4)0，解得1a4， 所以不等式的解集为(1,4)注意:本例分段函数的单调区间可以并!四)已知单调性求参数的值或取值范围例 1.(1)名师一号P17 特色专题 典例(3) (a-2)x,x 2满足对任意的实数-1, x 2已知函数f(x)= x 2 x1x2，都有 f(x1)- f(x2) 0成立，则实数 a 的取值范x- x围为( ) 13A(，2
10、) B. ，C(，2 D. 183，2【规范解答】函数 f(x)是 R 上的减函数， a20， 13于是有 1 由此解得 a13， a 2 2 2 1， 8即实数 a 的取值范围是 ，183 .例 2.(1) (补充)如果函数 f(x)ax 22x3 在区间 (，4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 答案 14，0解析 (1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上单调 递增，故在(，4)上单调递增；(2)当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为直线 x1， 因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，且a14，解得1a0 ，则由 f (x ) 0 得 x 2 a ，当 x 2
11、 a 时，f (x)0，f(x)单调增，当 2ax 2a时，f(x)单调减， f(x)的单调减区间为( 2a， 2a)，从而 2a2， a2.变式：若f(x)x36ax在区间(2,2)单调递减，则 a 的取值范围是？点评 f(x)的单调递减区间是(2,2)和 f ( x ) 在( 2 ，2) 上单调递减是不同的，应加以区分 本例亦可用x 2 是方程f (x)3x26a0 的两根 解得 a2.例 2.(3) (补充)若函数 f(x) =log1(x -ax)在(-3,-2)上单调递减，2则实数a 的取值范围是 ( )A9，12 B4，12 C4，27 D9，27答案：A温故知新 P23 第9题若
12、函数 f (x)=log1(x2 - ax + 3a)在区间 2 2,+ )上单调递减，则实数a的取值范围是计时双基练P217 基础7计时双基练P217 基础8、108、设函数 f(x)= ax+1 在区间(-2,+ )上是增函数, 那么a 的取值范围是答案: 1, + )x10、设函数 f (x)=x (x a)x-a(2)若a 0且 f(x)在区间(1,+ )内单调递减, 求a 的取值范围.答案: 1, + )(五)抽象函数的单调性例 1. (补充)已知 f ( x ) 为 R 上的减函数，那么满足f(| 1 |)f(1)的实数x 的取值范围是( )xA(1,1) B(0,1)C(1,0)
13、(0,1) D(，1)(1，)答案：C解析：因为f(x)为减函数，f(| 1 |)1，则|x|1xx且 x 0，即 x ( 1,0) (0,1) 练习： y = f (x)是定义在 -1,1 上的增函数，解不等式 f(1- x) f(1- x2)答案：(0,1)温故知新 P12 第 8 题注意： 解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解例 2. 计时双基练P216 培优 4函数 f ( x )的定义域为( 0, + ) ，且对一切x 0, y 0x都有 f(x)=f(x)-f (y)，当x 1时，有 f(x) 0。 y(1) 求 f (1)的值；(2) 判断 f (x)的单调性并加
14、以证明；(3) 若 f(4)=2，求 f(x)在 1,16 上的值域.答案:单调增; 0,4 注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习: 计时双基练P218 培优4 函数 f(x)的定义域为(0,+ )，且对一切x, y R 都有 f(x)+ f (y)= f(x+ y)，当x 0时，有2f(x) 0, f (1)=- .(1)求证: f (x)在R上是减函数；(2)求 f(x)在 -3,3 上的最大值与最小值.答案: 2;-2课后作业一、 计时双基练 P217 基础1-10 课本P16-17 变式思考1、2；二、 计时双基练 P217 基础11、培优 1-4 课本P18 对应训练1、2
15、、3预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 补充：练习1： x3a， x0 且 a1) ax， x0是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是( )1 1 2A(0,1) B ，1) C(0， D(0， 分析：f(x)在 R 上为减函数，故 f(x)ax(x0)为减函数， 可知 0a1，又由 f(x)在 R 上为减函数可知，f(x)在 x0 时的值恒大于 f(x)在 x0 时的值，从而 3a1.1 a 1.解析：f(x)在R 上单调递减， 0a1， 3a1.答案：B练习2： (3a)x4a (x1 ，又由 f(x)在 (，1)上单增，3a0，a3 ，又由于 f(x)在 R 上是增函数，为了满
16、足单调区间的定义，f(x)在(，1 上的最大值 35a 要小于等于 f(x)在1， )上的最小值 30，才能保证单调区间的要求，35a0，即 a3 ， 由可得 1a3.解法2：令a分别等于3、0、1，即可排除A、B、C， 故选 D.点评 f(x)在 R上是增函数，a 的取值不仅要保证f(x) 在(，1)上和1，)上都是增函数，还要保证 x1I - yOHS J 十-X寸 HJ (8+o更 WI(XllH -絶3解得 1k3，选 B.练习4:已知函数 y = 2x3+ 3ax2+12x(1) 若函数在R 上是单调增函数，则a 的取值范围解析:若函数在R上是单调增函数 R = x f (x) 0
17、因为y =6x2 +6ax+12开口方向向上， 所以 0,即36(a2 -4 2) 0,即 -2 2 a 2 2时条件成立；(2)已知函数y =2x3+3ax2+12x，若函数的单调递 减区间是(1,2)，则a 的值是 .解析:若函数的单调递减区间是(1,2) (1,2) = x f (x) 0 y =6x2 +6ax +12 所以1,2是方程6x2 + 6ax +12 = 0的两个实数根,由韦达定理， 1 + 2 = -a, a= -3(3)若函数在2,+ )上是单调增函数，则a 的取值范围解析:若函数在2,+ )上是单调增函数 2,+ ) x f (x) 0 分类讨论： 当 0,即36(a2-4 2) 0,即-2 2 a 2 2 条件成立； 0 a 2 2或a -2 2 当 -a 2 a -4 2 f (2) 0 a -3即 -3 a -2 2或a 22条件成立； 综上，a -3条件成立，a -3为所求.
