1、行程问题基础教学目标1行程的基本概念，会解一些简单的行程题.2掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、“设而不求法”、“设单位1法”3利用对比分析法解终（中）点问题知识点拨：一、探源我们经常在解决行程问题的过程中用到、三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的，这个字母代表英文单词，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是，而不是我们常用来表示速度的。表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是，但这个单词并不是以字母开头的
2、。关于为什么会用来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的和代表时间的在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的来表示速度。二、关于s、v、t 三者的基本关系速度时间=路程 可简记为：s = vt路程速度=时间 可简记为：t = sv路程时间=速度 可简记为：v = st三、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。典型例题：模块一、简单行程公式解题【例 1】 韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校
3、？【解析】 原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为(米/分)，那么现在上学所用的时间为：(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校【巩固】 甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.【解析】 马车从甲地到乙地需要10010=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶1004=25(千米)【巩固】 两辆汽
4、车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？【解析】 北京到某地的距离为：（千米），客车到达某地需要的时间为：（小时），（小时），所以客车要比货车提前开出3小时。【巩固】 甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车出发5 小时后两车还相距15千米甲车每小时行 48千米，乙车每小时行 50千米求 A、 B 两地间相距多少千米？【解析】 在整个过程中，甲车行驶了 35= 8=(小时)，行驶的路程为：48 8 =384(千米)；乙车行驶了 5 小时，行驶的路程为
5、： 50 5 =250(千米)，此时两车还相距15 千米，所以 A 、 B 两地间相距：38425015 =649(千米)【巩固】 一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走千米，桃每小时走千米，他们同时出发小时后还相距千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？【解析】 我们可以先求出小时梨和桃走的路程：(千米)，又因为还差千米，所以梨和桃之间的距离：(千米)【巩固】 两列火车从相距千米的两城相向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【解析】 两车的相距路程减去小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：（千米）【巩固】 小白从家骑车去学校，每小时千米，用时
6、小时，回来以每小时千米的速度行驶，需要多少时间？ 【解析】 从家到学校的路程：（千米），回来的时间 （小时）【例 2】 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【解析】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间：124+85=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5
7、时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）4+（12+8）5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。【例 3】 一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数保留整数)【解析】 火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了(1360340=)4秒.可见火车行1360米用了(57+4=)61秒,将距离除以时间可求出火车的速度.
8、1360(57+1360340)=13606122(米)【例 4】 龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？【解析】 先算出兔子跑了（米），乌龟跑了（米），此时乌龟只余下（米），乌龟还需要（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了（米），所以兔子一共跑（米）所以乌龟先到，快了（米）【例 5】 甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？【解析】 方法一：由于前一半时
9、间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)2=70米这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是672070=96分钟由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于67202=3360米则前一个336
10、0米用了336080=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：x=48分钟，因为8048=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是336080=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易而前一半路程所需时间的
11、计算是简单的因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法这种选择能力也是需要锻炼和培养的【巩固】 甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米问他走后一半路程用了多少分钟？【解析】 方法一：全程的平均速度是每分钟（米），走完全程的时间是（分钟），走前一半路程速度一定是80米，时间是（分钟），后一半路程时间是（分钟）方法二：设走一半路程时间是x分钟，则，解得（分钟），因为 （米），大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是（分钟），后一半路程时间是（分钟）模块二、平均速度问题【例 6】 如图，从A到B是12千
12、米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少? 【解析】 从A到B的时间为：126=2（小时），从B到C的时间为：84=2（小时），从C到D的时间为：42=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4=24（千米），那么从A到D 的平均速度为：246=4（千米/时）【巩固】 如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米
13、/小时.问从A到D的平均速度是多少？【解析】 从A到B的时间为：66=1（小时），从B到C的时间为：44=1（小时），从C到D的时间为：42=2（小时），从A到D的总时间为：1+1+2=4（小时），总路程为：6+4+4=14（千米），那么从A到D 的平均速度为：144=3.5（千米/时）【巩固】 摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.【解析】 要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：902=18
14、0（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：9030=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：9045=2（小时），往返共用时间是：3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，列式为：902（9030+9045）=1805=36（千米/小时）【巩固】 甲乙两地相距200千米，小强去时的速度是10千米/小时，回来的速度是40千米/小时，求小强往返的平均速度【解析】 去时的时间（小时），回来的时间（小时），平均速度总路程总时间（千米/小时）【巩固】 一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速
15、度为50千米时，剩下的路程应以什么速度行驶？【解析】求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300-120=180（千米），计划总时间为：30050=6（小时），前120千米已用去12040=3（小时），所以剩下路程的速度为: （300-120）（6-3）=60（千米/时）.【巩固】 一个运动员进行爬山训练从地出发，上山路长30千米，每小时行3千米爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行6千米求这位运动员上山、下山的平均速度 【解析】 这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念速度的平均数(上山速度+下
16、山速度)，而平均速度上、下山的总路程上、下山所用的时间和所以上山时间：(小时)，下山时间：(小时)，上、下山平均速度：(千米/小时)【例 7】 一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到乙地. 骑车时每小时行12千米，步行时每小时4千米，这个人走完全程的平均速度是多少？【解析】 参数法：设全程的的一半为S千米，前一半时间为，后一半时间为，根据公式平均速度=总路程总时间，可得（千米）。题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，路程的一半既是12的倍数又是4的倍数，
17、所以可以假设路程的一半为（千米），来回两段路，每段路程12千米，那么总路程是： (千米),总时间是：（小时），所以平均速度是：（千米/小时）注意：在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，这样做无非是设了“单位24”，也就是把所有路程扩大了24倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.【巩固】 汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米时，要想来回的平均速度为48千米时，回来时的速度应为多少？【解析】 参数法：设A、B两地相距S千米，列式为S(2S48-S40)=60千米. 最小公倍法：路程2倍既是4
18、8的倍数又是40的倍数，所以可以假设路程为48，40=240千米.根据公式变形可得 2402（24048-240240）=60千米.【巩固】 飞机以720千米时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480千米时的速度返回甲地.求该车的平均速度.【解析】 设两地距离为：（千米），从甲地到乙地的时间为：（小时），从乙地到甲地的时间为：（小时），所以该飞机的平均速度为：（千米）。【巩固】 汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。【解析】 想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程总时间 ，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就
19、迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：172+148，平均速度=2（172+148）=57.6千米/时。 我们发现中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为72，48=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=1442（14472+14448）=57.6千米/时。【巩固】 从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上山以30千米时的速度，到达山顶后以60千米时的速度下山.求该车的平均速度.【解
20、析】 设两地距离为：（千米），上山时间为：（小时），下山时间为：（小时），所以该飞机的平均速度为：（千米）。【巩固】 某人上山速度为每小时8千米，下山的速度为每小时12千米，问此人上下山的平均速度是多少？【解析】 方法一：用设数代入法，设从山脚至山顶路程为48千米，下山用时为（小时），共用时（小时），路程为（千米），平均速度为（千米/小时）方法二：设路程为单位1，上山用时为，下山用时为，共用时，距离为，平均速度为（千米/小时）.【巩固】 胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多
21、少？【解析】 千米/小时【例 8】 小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。小明往返一趟共行了多少千米？【解析】 方法一：路程=总时间平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为10千米，102（102.5+104）=206.5=40/13（千米/时）所以总路程：40/133.9=12（千米）。方法二：设上山用小时，下山用小时，所以列方程为：，解得，所以小明往返共走：（千米）。【巩固】 小明上午九点上山，每小时3千米，在山顶休息1小时候开始下山，每小时4千米，下午一点半到达山下，问他共走了多少千米.【解析】 上午九点上山下午1点半下山，用时4.5小时，除去休息的一
22、个小时，上山和下山共用时3.5小时.上山速度3千米/小时，下山速度4千米/小时，若假设上下山距离为12千米的话，则上山用时4小时，下山用时3小时，总用时应为7小时，而实际用时3.5小时，则实际路程应为千米【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了5小时小明去时用了多长时间？【解析】 方法一：路程=总时间平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为6千米，62（62+63）=125=2.4（千米/时）所以总路程：2.45=12（千米），所以去时用时间为：（小时）方法二：设上山用小时，下山用小时，所以列方程为：，解得，所以去时用时间为3小时。方法三:因为路程速度时间，
23、来回的路程是一样的，速度不同导致所用的时间不同，同时，速度与时间的乘积是不变的，因为去时的速度与回来时的速度之比为2：3，所以去时的时间与回来时的时间比为3：2，把去时用的时间看作3份，那么回来时所用时间为2份，它们的和为5，由和倍关系式，去时所用的时间为(小时)【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走2千米，回来时每时走3千米，来回共用了15小时小明去时用了多长时间？【解析】 假设总路程为6千米，那么去时用（小时），回来用（小时），来回共用5小时，而题目中是15小时，是假设时间5小时的3倍，那么总路程就是（千米）。所以，去时用了（小时）。【例 9】 小王每天用每小时15千米的速度骑车去学校，这
24、一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每小时10千米，那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同【解析】由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下，平时的15千米/小时相当于平均速度.若能再把总路程“任我意”出来，在已知总距离和平均速度的情况下，总时间是可求的，例如假设总路程是30千米，从而总时间为小时.开始的三分之一路程则为10千米，所用时间为小时，可见剩下的20千米应用时1小时，从而其速度应为20千米/小时.【例 10】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米
25、/秒、6米/秒和8米/秒，求他过桥的平均速度。【解析】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：244+246+248=13（秒），过桥的平均速度为（米/秒）【巩固】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米秒、22米秒和33米秒，求他过桥的平均速度.【解析】 假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=6611+6622+6633=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66311=18（米/秒）【巩固】 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分
26、别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？【解析】 假设每条边长为200厘米，则总时间=20050+20020+20040=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200319=（厘米/分钟）.【例 11】 （2007年4月“希望杯”四年级2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每天锻炼中，他共行走多少千米？【解析】 上山3千米/小时，平路4千米/小时，下山6千米/小时。假设平路与上下山距离相等，均为12千米，则首先赵伯伯每天共行走千
27、米，平路用时小时，上山用时小时，下山用时小时，共用时小时，是实际3小时的4倍，则假设的48千米也应为实际路程的4倍，可见实际行走距离为千米。方法二：设赵伯伯每天走平路用小时，上山用小时，下山用小时，因为上山和下山的路程相同，所以，即由题意知，所以因此，赵伯伯每天锻炼共行（千米），平均速度是（千米/时）【例 12】 张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米时；从B到C为上山路，车速是28千米时；从C到D为下山路，车速是42千米时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？【解析】 方法一：设BC距离为：（千米），所以CD距离为（千米），那么
28、B-C-D的平均速度为:(千米/小时)，和平路的速度恰好相等，说明A-B-C-D的平均速度为36千米/小时，所以从A-D共需要的时间为：（小时）方法二：设上山路为千米，下山路为千米，则上下山的平均速度是：(千米/时)，正好是平地的速度，所以行总路程的平均速度就是36千米/时，与平地路程的长短无关因此共需要(小时)【巩固】 老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米时；从B到C为上山路，车速是22.5千米时；从C到D为下山路，车速是36千米时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？【解析】 设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速
29、度是：（x+2x）（x22.52x36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72302.4（时）【例 13】 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路小明上学走两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的2倍，那么平路的速度是上坡的多少倍？【解析】 方法一：设路程为80，则上坡和下坡均是40设走平路的速度是2，则下坡速度是4走下坡用时间，走平路一共用时间，所以走上坡时间是，走与上坡同样距离的平路时用时间：因为速度与时间成反比，所以平路速度是上坡速度的（倍）方法二：因为距离和时间都相同
30、，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间，上坡时间，上坡速度，则平路速度是上坡速度的（倍）方法三：因为距离和时间都相同，所以路程上坡速度路程路程，得上坡速度，则平路速度是上坡速度的（倍）模块三、假设法解行程题【例 14】 王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【解析】 假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300602=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间30050=
31、6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以3004=75（千米/时）的速度往回开【例 15】 解放军某部开往边境，原计划需要行军18天，实际平均每天比原计划多行12千米，结果提前3天到达，这次共行军多少千米？【解析】 “提前3天到达”可知实际需要天的时间，而“实际平均每天比原计划多行12千米”，则15天内总共比原来15天多行的路程为：(千米)，这180千米正好填补了原来3天的行程，因此原来每天行程为(千米)，问题就能很容易求解原来的速度为：(千米/天)，因此总行程为：(千米)另外本题通过画矩形图将会更容易解决：其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程速度时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道甲的面积等于乙的面积，乙的面积为，所以“？”处应为，而“？”表示的是原计划的速度，则这次行军的路程为：(千米)【巩固】 某人要到 60千米外的农场去，开始他以 6千米/时的速度步行，后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场，总共用了6小时问：他步行了多远？【解析】 求步行路程，而且步行速度已知，需要求步行时间如果6小时全部乘拖拉机，可以行进：(千米)，(千米)，其中，这48千米
