1、七年级数学第17讲识多边形第17讲 认识多边形考点方法破译1了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.2通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.经典考题赏析【例】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n3)条对角线，它们将这n边形分成(n2)个三角形，n边形一共有条对角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图
2、所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:ABC、ACD、ADE、AEF； (2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01下列图形中，凸多边形有( )A1个 B2个 C3个 D4个02过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m_，n_，k_.03已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是 .【例】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n3)条对角线，并且将n边形分成(n2)个三角形，这(n
3、2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n2)1800；(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(82)180010800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，则有(n2)1800108002，解得n14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（ ）A正方形 B正五边形 C 正六边形 D正七边形03已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（ ）A8 B7 C6 D504如图，1、
4、2、3、4是五边形ABCDE的外角，且1234700，则AED的度数为（ ）A1100 B1080 C1050 D10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（ ）A都不变 B内角和增加1800，外角和不变C内角和增加1800，外角和减少1800 D都增加1800【例】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为6.所以这只蚂蚁需要爬行5630(cm)才能回到点A【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形
5、的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800n，外角和等于n1800(n2)18003600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4) 多边形的外角和为3600的作用：已知各相等外角度数求多边形边数；已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01（无锡）
6、八边形的内角和为_.度.02（永州）如图所示，已知ABC中，A400，剪去A后成四边形，则1+2_03（资阳）n(n为整数，且n3)边形的内角和比（n+1）边形的内角和少_度.04（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_米. 【例】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形
7、内角和定理可得：(2x2)1800+(5x2)180018000，解得x2，2x4，5x10，故这两个多边形的边数分别为4和10.【变式题组】01一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是_02若一个多边形的外角和是其内角和的，则此多边形的边数为_03每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，则这个多边形是（ ）A三角形 B四边形 C五边形 D六边形04内角和与其外角和相等的多边形是_【例】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（ ）A正三角形 B长方形 C正八边形 D正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处
8、各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C【变式题组】01用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（ ）A正三角形 B正方形 C长方形 D正五边形02小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）A正三角形、正方形、正六边形 B正三角形、正方形、正五边形 C正方形、正五边形 D正三角形、正方形、正五边形、正六边形03只用下列正多边形能作平面镶嵌的是（ ）A正五边形 B
9、正六边形 C正八边形 D正十边形04（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）A669 B670 C671 D672【例】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成
10、600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n2)1800(112)180016200.因为12001116200150011，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m个，1500的角有n个，则有1200m+1500n16200，即4m+5n54 此方程有唯一正整数解，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.【变式题组】01如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一
11、块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是_.02（黄冈）小明的书房地面为210cm300cm的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（ ）A30cm30cm的正方形， B50cm50cm的正方形， C60cm60cm的正方形， D120cm120cm的正方形，03正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求的值.演练巩固反馈提高01在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为_，则此正n
12、边形可铺满地面，没有空隙.02（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为_块，当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖为_块.03（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：则第n个图案中白色的地板砖有_块.04如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有_个白色正六边形.05如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ ）A3 B 4 C5 D606下列不能镶嵌的正多边组合是（
13、 ）A正三角形与正六边形 B正方形与正六边形 C正三角形与正方形 D正五边形与正十边形07用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（ ）A边长相同 B在每一点的交接处各多边形的内角和为1800 C边长之间互为整数倍 D在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等08（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（ ）A4 B5 C6 D809自贡(课改)张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（ ）A正三角形 B正方
14、形 C正六边形 D正八边形10我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.11某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案如图(1)、(2)、(3)规律
15、依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）An2+n+2，2n+1 B2n+2，2n+1 C4n，n2n+3 D4n，2n+1培优升级奥赛检测01在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，则这个多边形的边数为（ ）A12 B12或13 C14 D14或1502有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）A216块 B288块 C384块 D512块03如图，A+B+C+D+E+F+G的度数等于（ ）A3600 B4500 C5400 D720004从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小
16、三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的，那么此n边形的内角和为_.05如图，已知DCAB，BAEBCD，AEDE，D1300，求B的度数.06如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_米.07如图，两直线AB、CD平行，则1+2+3+4+5+6（ ）A6300 B7200 C8000 D900008将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中BAC_.09矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，
17、将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，则m+n的值为（ ）A120 B128 C136 D14410对正方形ABCD分划如图，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”(1)如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1_；各内角中最小内角是_度，最大内角是_度；用它们拼成一个五边形如图，其面积是_.(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1).(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？请说明理由.11(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；(2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.12(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF中，已知A+B+CD+E+F成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.
