1、2014年山东省高考数学试卷（文科） 一.选择题每小题5分，共50分1（5分）已知a，bR，i是虚数单位，若a+i=2bi，则（a+bi）2=（）A34iB3+4iC43iD4+3i2（5分）设集合A=x|x22x0，B=x|1x4，则AB=（）A（0，2B（1，2）C1，2）D（1，4）3（5分）函数f（x）=的定义域为（）A（0，2）B（0，2C（2，+）D2，+）4（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x3+ax+b=0没有实根B方程x3+ax+b=0至多有一个实根C方程x3+ax+b=0至多有两个实根D方程x3+ax
2、+b=0恰好有两个实根5（5分）已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D6（5分）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1Ba1，0c1C0a1，c1D0a1，0c17（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A2BC0D8（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从
3、左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A6B8C12D189（5分）对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）Af（x）=Bf（x）=x2Cf（x）=tanxDf（x）=cos（x+1）10（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A5B4CD2二.填空题每小题5分，共25分11（5分）执
4、行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为12（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为13（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为14（5分）圆心在直线x2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为15（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为三.解答题共6小题，共75分16（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，
5、从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区ABC数量50150100（）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率17（12分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积18（12分）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC19（12分）在等差数列an中，已知公差d
6、=2，a2是a1与a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=a，记Tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求Tn20（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数（）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性21（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2
7、，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值2014年山东省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析一.选择题每小题5分，共50分1（5分）（2014山东）已知a，bR，i是虚数单位，若a+i=2bi，则（a+bi）2=（）A34iB3+4iC43iD4+3i【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值【解答】解：a+i=2bi，a=2、b=1，则（a+bi）2=（2i）2=34i，故选：A2（5分）（2014山东）设集合A=x|x22x0，B=x|1x4，则AB=（）A（0，2B（1，2）C1，2）D（1，4）【分析】分别解出集合A和
8、B，再根据交集的定义计算即可【解答】解：A=x|0x2，B=x|1x4，AB=x|1x2故选：C3（5分）（2014山东）函数f（x）=的定义域为（）A（0，2）B（0，2C（2，+）D2，+）【分析】分析可知，解出x即可【解答】解：由题意可得，解得，即x2所求定义域为（2，+）故选：C4（5分）（2014山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x3+ax+b=0没有实根B方程x3+ax+b=0至多有一个实根C方程x3+ax+b=0至多有两个实根D方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】
9、解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根故选：A5（5分）（2014山东）已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（）Ax3y3BsinxsinyCln（x2+1）ln（y2+1）D【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键【解答】解：实数x，y满足axay（0a1），xy，A当xy时，x3y3，恒成立，B当x=，y=时，满足xy，但sinxsiny不成立C若ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为x2y2成立，当
10、x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立D若，则等价为x2+1y2+1，即x2y2，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立故选：A6（5分）（2014山东）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）Aa1，c1Ba1，0c1C0a1，c1D0a1，0c1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论【解答】解：函数单调递减，0a1，当x=1时loga（x+c）=loga（1+c）0，即1+c1，即c0，当x=0时loga（x+c）=logac0，即c1，即0c1，故选：D7（5分）（2014山东）已知向量=（1，），=（3，m
11、），若向量，的夹角为，则实数m=（）A2BC0D【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值【解答】解：由题意可得cos=，解得 m=，故选：B8（5分）（2014山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A6B8C12D18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第
12、一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人故选：C9（5分）（2014山东）对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）Af（x）=Bf（x）=x2Cf（x）=tanxDf（x）=cos（x+1）【分析】由题意判断f（x）为准偶
13、函数的对称轴，然后判断选项即可【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，函数的对称轴是x=a，a0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确故选：D10（5分）（2014山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A5B4CD2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b2=0a2
14、+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）化目标函数为直线方程得：（b0）由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小2a+b=2即2a+b2=0则a2+b2的最小值为故选：B二.填空题每小题5分，共25分11（5分）（2014山东）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x24x+3=00，满足判断框条件，x=2
15、，n=1，x24x+3=10，满足判断框条件，x=3，n=2，x24x+3=00满足判断框条件，x=4，n=3，x24x+3=30，不满足判断框条件，输出n：3故答案为：312（5分）（2014山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为 =，故答案为：13（5分）（2014山东）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为1
16、2【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积【解答】解：一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，h=1，棱锥的斜高为：=2，该六棱锥的侧面积为：=12故答案为：1214（5分）（2014山东）圆心在直线x2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x2）2+（y1）2=4【分析】由圆心在直线x2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t
17、的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，圆C截x轴所得弦的长为2，t2+3=4t2，t=1，圆C与y轴的正半轴相切，t=1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，（x2）2+（y1）2=4故答案为：（x2）2+（y1）2=415（5分）（2014山东）已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=x【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p0）的焦点及
18、准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=x【解答】解：右顶点为A，A（a，0），F为抛物线x2=2py（p0）的焦点，F，|FA|=c，抛物线的准线方程为由得，由，得=2c，即c2=2a2，c2=a2+b2，a=b，双曲线的渐近线方程为：y=x，故答案为：y=x三.解答题共6小题，共75分16（12分）（2014山东）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区ABC数量50150100（）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（）若在
19、这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率【分析】（）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：（）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k=，故A地区抽取的商品的数量为：50=1；B地区抽取的商品的数量为：150=3；C地区抽取的商品的数量为：100=2；（）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区
20、”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为17（12分）（2014山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosA=，B=A+（）求b的值；（）求ABC的面积【分析】（）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案【解答】解：（）cosA=，sinA=，B=A+sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，b=sinB=3（）sinB=，
21、B=A+cosB=，sinC=sin（AB）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=（）+=，S=absinC=33=18（12分）（2014山东）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC【分析】（）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PAOF，从而可证AP平面BEF；（）证明BEAP、BEAC，即可证明BE平面PAC【解答】证明：（）连接CE，则ADBC，BC=AD，E为线段AD的中点，四边形ABCE是平行四边形，BCDE
22、是平行四边形，设ACBE=O，连接OF，则O是AC的中点，F为线段PC的中点，PAOF，PA平面BEF，OF平面BEF，AP平面BEF；（）BCDE是平行四边形，BECD，AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，四边形ABCE是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面PAC19（12分）（2014山东）在等差数列an中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=a，记Tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求Tn【分析】（）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出（）利用（）
23、可得bn=a=n（n+1），因此Tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）对n分奇偶讨论即可得出【解答】解：（）a2是a1与a4的等比中项，在等差数列an中，公差d=2，即，化为，解得a1=2an=a1+（n1）d=2+（n1）2=2n（）bn=a=n（n+1），Tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）当n=2k（kN*）时，b2kb2k1=2k（2k+1）（2k1）（2k1+1）=4kTn=（b2b1）+（b4b3）+（b2kb2k1）=4（1+2+k）=4=2k（k+1）=当n=2k1（kN*
24、）时，Tn=（b2b1）+（b4b3）+（b2k2b2k3）b2k1=n（n+1）=故Tn=20（13分）（2014山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数（）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性【分析】（）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为yf（1）=f（1）（x1），代入计算即可（）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a0，a0，a三种情况分别讨论即可【解答】解：，（）当a=0时，f（1）=，f（1）=0曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=（x1）（）（1）当
25、a0时，由x0知f（x）0，即f（x）在（0，+）上单调递增；（2）当a0时，令f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x+a0，令f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x+a0以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a0.，对称轴方程当a时，0，g（x）0恒成立（x0）当a0时，此时，对称轴方程0，g（x）=0的两根一正一负，计算得当0x时，g（x）0；当x时，g（x）0综合（1）（2）可知，当a时，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减；当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增21（14分）（2014山
26、东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值【分析】（）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y10），（x2，y2）
27、，用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值【解答】解：（）由题意知，则a2=4b2椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2将y=x代入可得，因此，解得a=2则b=1椭圆C的方程为；（）（i）设A（x1，y1）（x1y10），D（x2，y2），则B（x1，y1）直线AB的斜率，又ABAD，直线AD的斜率设AD方程为y=kx+m，由题意知k0，m0联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0因此由题意可得直线BD的方程为令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）可得，即因此存在常数使得结论成立（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）由（i）知M（3x1，0），可得OMN的面积为S=当且仅当时等号成立OMN面积的最大值为第20页（共
