1、2016年全国统一高考数学试卷（新课标）（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合S=x|（x2）（x3）0，T=x|x0，则ST=（）A2，3B（，23，+）C3，+）D（0，23，+）2（5分）若z=1+2i，则=（）A1B1CiDi3（5分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30B45C60D1204（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（）A各月的平均
2、最低气温都在0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20的月份有5个5（5分）若tan=，则cos2+2sin2=（）ABC1D6（5分）已知a=2，b=3，c=25，则（）AbacBabcCbcaDcab7（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A3B4C5D68（5分）在ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）ABCD9（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D8110（5分）在封闭的直三棱柱ABCA1B1
3、C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D11（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD12（5分）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）（2015新课
4、标II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为14（5分）函数y=sinxcosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到15（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是16（5分）已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知数列an的前n项和Sn=1+an，其中0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求18（
5、12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646参考公式：r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（1
6、）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值20（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点（）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程21（12分）设函数f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中a0，记f（x）的最大值为A（）求f（x）；（）求A；（）证明：|f（x）|2A请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，O中的中点为P，弦PC，PD分
7、别交AB于E，F两点（1）若PFB=2PCD，求PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2xa|+a（1）当a=2时，求不等式f（x）6的解集；（2）设函数g（x）=|2x1|，当xR时，f（x）+g（x）3，求a的取
8、值范围2016年全国统一高考数学试卷（新课标）（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合S=x|（x2）（x3）0，T=x|x0，则ST=（）A2，3B（，23，+）C3，+）D（0，23，+）【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】集合思想；定义法；集合【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可【解答】解：由S中不等式解得：x2或x3，即S=（，23，+），T=（0，+），ST=（0，23，+），故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）若z
9、=1+2i，则=（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1+2i，则=i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3（5分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30B45C60D120【考点】数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cosABC的值，根据ABC的范围便可得出ABC的值【解答】解：，；又0ABC180；ABC
10、=30故选A【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角4（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（）A各月的平均最低气温都在0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20的月份有5个【考点】进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】数形结合；数学模型法；推理和证明【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判
11、断即可【解答】解：A由雷达图知各月的平均最低气温都在0以上，正确B七月的平均温差大约在10左右，一月的平均温差在5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10，正确D平均最高气温高于20的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键5（5分）若tan=，则cos2+2sin2=（）ABC1D【考点】三角函数的化简求值菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2+sin2），再将
12、“弦”化“切”即可得到答案【解答】解：tan=，cos2+2sin2=故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题6（5分）已知a=2，b=3，c=25，则（）AbacBabcCbcaDcab【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】b=4=，c=25=，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案【解答】解：a=2=，b=3，c=25=，综上可得：bac，故选A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档
13、7（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A3B4C5D6【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s16，退出循环，输出n的值为4【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4
14、，s=20，n=4满足条件s16，退出循环，输出n的值为4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题8（5分）在ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）ABCD【考点】三角形中的几何计算菁优网版权所有【专题】转化思想；数形结合法；解三角形【分析】作出图形，令DAC=，依题意，可求得cos=，sin=，利用两角和的余弦即可求得答案【解答】解：设ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，ADBC于D，令DAC=，在ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，BD=AD=a，CD=a，在RtADC中
15、，cos=，故sin=，cosA=cos（+）=coscossinsin=故选：C【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC=，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题9（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A18+36B54+18C90D81【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，其底面面积为：36=18，前后侧面的面积
16、为：362=36，左右侧面的面积为：32=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键10（5分）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r=2
17、，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键11（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公
18、式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b=，可得P（c，），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e=故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）定义“规范01数列”an如下
19、：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义；对应思想；试验法【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，
20、1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故选：C【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）（2015新课标II）若x，y满足
21、约束条件，则z=x+y的最大值为【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：画出平面区域；分析目标函数，确定求最值的条件14（5分）函数y=sinxcosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质【分
22、析】令f（x）=sinx+cosx=2in（x+），则f（x）=2in（x+），依题意可得2in（x+）=2in（x），由=2k（kZ），可得答案【解答】解：y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+），y=sinxcosx=2in（x），f（x）=2in（x+）（0），令2in（x+）=2in（x），则=2k（kZ），即=2k（kZ），当k=0时，正数min=，故答案为：【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（x+）（A0，0）的图象，得到=2k（kZ）是关键，也是难点，属于中档题15（5分）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x
23、）在点（1，3）处的切线方程是2x+y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】方程思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】由偶函数的定义，可得f（x）=f（x），即有x0时，f（x）=lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（x）=f（x），当x0时，f（x）=ln（x）+3x，即有x0时，f（x）=lnx3x，f（x）=3，可得f（1）=ln13=3，f（1）=13=2，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为y（3）=2（x1），即为2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0【点评】本题考
24、查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题16（5分）已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4【考点】直线与圆相交的性质菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：由题意，|AB|=2，圆心到直线的距离d=3，=3，m=直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|=4故答案为：4【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计
25、算，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）已知数列an的前n项和Sn=1+an，其中0（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求【考点】数列递推式；等比关系的确定菁优网版权所有【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可（2）根据条件建立方程关系进行求解就可【解答】解：（1）Sn=1+an，0an0当n2时，an=SnSn1=1+an1an1=anan1，即（1）an=an1，0，an010即1，即=，（n2），an是等比数
26、列，公比q=，当n=1时，S1=1+a1=a1，即a1=，an=（）n1（2）若S5=，则若S5=1+（）4=，即（）5=1=，则=，得=1【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n2时，an=SnSn1的关系进行递推是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力18（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：yi=9.32，tiyi
27、=40.17，=0.55，2.646参考公式：r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=【考点】线性回归方程菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；概率与统计【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：r=0.996，0.9960.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）=0.10，=1.3310.1040.93，y关于t的回归方程=0.103+0.93，2016年对应的t值为9，故=0.109+0.93=1.83，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心19（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定菁优网版权所
