1、 高考真题 高三数学2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1=( ) A- - iB- + iC- - iD- + i 解析：选D2已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ ，则A中元素的个数为 ( )A9B8C5D4解析：选A 问题为确定圆面内整点个数3函数f(x)= 的图像大致为 ( )解析：选B f(x
2、)为奇函数，排除A,x0,f(x)0,排除D,取x=2,f(2)= 1,故选B4已知向量a，b满足|a|=1，ab=-1，则a(2a-b)= ( )A4B3C2D0解析：选B a(2a-b)=2a2-ab=2+1=35双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为( )Ay=xBy=xCy=xDy=x解析：选A e= c2=3a2 b=a 6在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )A4BCD2解析：选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2ABBCcosC=32 AB=47为计算S=1- + - + - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入(
3、 )Ai=i+1 Bi=i+2 Ci=i+3 Di=i+4解析：选B8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) ABC D解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=9在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )ABC D解析：选C 建立空间
4、坐标系，利用向量夹角公式可得。10若f(x)=cosx-sinx在-a,a是减函数，则a的最大值是( )ABC D解析：选A f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。11已知f(x)是定义域为(-,+ )的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ( )A-50B0C2D50解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f
5、(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=212已知F1，F2是椭圆C: 1（ab0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，P F1F2为等腰三角形，F1F2P=1200，则C的离心率为( )ABCD解析：选D AP的方程为y=(x+a),P F1F2为等腰三角形 |F2P|=| F1F2|=2c,过P作PHx轴，则PF2H=600, |F2H|=c,|PH|=c, P(2c, c),代入AP方程得4c=a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为_解
6、析：y=2x14若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为_解析：915已知sin+cos=1,cos+sin=0，则sin(+)=_解析：- 两式平方相加可得16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=r, 又SA，SB所成角的正弦值为,则2r2=5 r2=40, S=rr=40三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）记Sn为等
7、差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值解：（1）设an的公差为d，由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为16.18（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：=-30.4+13.
8、5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 解：（1）利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.519=226.1 (亿元).利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5 (亿元).（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利
9、用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. （）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值
10、更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19（12分）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160，故x1+x2=.所以|AB|= x1+x2+2=+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.因此l的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y
11、-2=-(x-3)，即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为300，求PC与平面PAM所成角的正弦值解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP=2.连结OB.因为AB=BC=AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知OPOB.由OPOB,O
12、PAC知OP平面ABC.（2）如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2), =(0,0,2)取平面PAC的法向量=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0a2)，则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).则，可取n=(a-4), a,-a)，所以cos= .由已知得|cos|=. = 解得a=-4（舍去），a=.所以n=(- ,- ).又=(0,2,-2)，所以cos=.所以PC与平面PAN所成角的正弦值为.21（12分）已知函数f(x)=ex-ax2（1）若a=1
13、，证明：当x0时，f(x)1；（2）若f(x)在(0,+)只有一个零点，求a【解析】（1）当a=1时，f(x)1等价于(x2+1)e-x-10设函数g(x) (x2+1)e-x-1，则g(x)=-(x-1)2e-x当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；（ii）当a0时，h(x)=ax(x-2) e-x当x(0,2)时，h(x)0所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+)单调递增故h(2)=1- 是h(x)在0,+)的最小值 若h(2)0，即a，h(x)在(0,+)没有零点；若h(2)=0，即a=，h(x)在(0,+)只有一个零点；若h(2)，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一
14、个零点，由（1）知，当x0时，ex=x2，所以h(4a)=1-1-=1- 0故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+)有两个零点综上，f(x)在(0,+)只有一个零点时，a=（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1当cos0时，l的直角坐标方程为y=tanx+2-tan
15、，当cos=0时，l的直角坐标方程为x=1（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0又由得2cos+sin=0，于是直线l的斜率k=tan=-223选修45：不等式选讲（10分）设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|（1）当a=1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若f(x)1，求a的取值范围【解析】（1）当a=1时， 可得f(x)0的解集为x|-2x3（2）f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4而|x+a|+|x-2|a+2|，且当x=2时等号成立故f(x)1等价于|a+2|4得a-6或a2，所以a的取值范围是(-,-62,+)第 6 页 共 6 页
