1、2012年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2012四川）（1+x）7的展开式中x2的系数是（）A42B35C28D21考点：二项式定理菁优网版权所有专题：计算题分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是Tr+1=xr故展开式中x2的系数是=21故选D点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2（5分）（2012四川）复数=（）A1B1CiDi考点：复数代
2、数形式的混合运算菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，故选B点评：本题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规则化简分子3（5分）（2012四川）函数在x=3处的极限是（）A不存在B等于6C等于3D等于0考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案解答：解：=x+3；f（x）=（）=6；而f（x）=ln（x2）=0即左右都有极限，但极限值不相等故函数在x=3处的极限不存在故选：A点评：本题主要考察函数的极限及其运算分段函数在分界点处极限存
3、在的条件是：两段的极限都存在，且相等4（5分）（2012四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sinCED=（）ABCD考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦解答：解：法一：利用余弦定理在CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cosCED=，sinCED=故选B法二：在CED中，根据图形可求得ED=，CE=，CDE=135，由正弦定理得，即故选B点评：本题综合考查了正弦
4、定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律5（5分）（2012四川）函数y=ax（a0，a1）的图象可能是（）ABCD考点：函数的图象菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可解答：解：函数y=ax（a0，a1）的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移个单位得到的当a1时，函数y=ax在R上是增函数，且图象过点（1，0），故排除A，B当1a0时，函数y=ax在R上是减函数，且图象过点（1，0），故排除C，故选D点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题6（5
5、分）（2012四川）下列命题正确的是（）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异
6、面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面=a，l，l，由线面平行的性质定理，在平面内存在直线bl，在平面内存在直线cl，所以由平行公理知bc，从而由线面平行的判定定理可证明b，进而由线面平行的性质定理证明得ba，从而la，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D故选C点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题7（5分）（2012四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）ABCD且考点：充分条件菁优网版权
7、所有专题：简易逻辑分析：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解：与共线且同向且0，故选C点评：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题8（5分）（2012四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）ABC4D考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题分析：关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|解答：解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2
8、px（p0）点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，2+=3p=2抛物线方程为y2=4xM（2，y0）|OM|=故选B点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程9（5分）（2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A1800元B2400元C2800元D31
9、00元考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：应用题分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10（5分）（2012四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球
10、面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足BOP=60，则A、P两点间的球面距离为（）ABCD考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意求出AP的距离，然后求出AOP，即可求解A、P两点间的球面距离解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，所以CD平面AOB，因为BOP=60，所以OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE=，AP=，AP2=
11、OP2+OA22OPOAcosAOP，cosAOP=，AOP=arccos，A、P两点间的球面距离为，故选A点评：本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力11（5分）（2012四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c3，2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A60条B62条C71条D80条考点：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：方程变形得，若表示抛物线，则a0，b0，所以分b=3，2，1，2，3五种情况，利用列举法可解解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a0，b0，所以分b
12、=3，2，1，2，3五种情况：（1）当b=3时，a=2，c=0，1，2，3或a=1，c=2，0，2，3或a=2，c=2，0，1，3或a=3，c=2，0，1，2；（2）当b=3时，a=2，c=0，1，2，3或a=1，c=2，0，2，3或a=2，c=2，0，1，3或a=3，c=2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=3，c=2，0，2，3或a=2，c=3，0，2，3或a=2，c=3，2，0，3或a=3，c=3，2，0，2；共有16条综上，共有23+23+16=62种故选B点评：此题难度很大，若采用排
13、列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法要能熟练运用12（5分）（2012四川）设函数f（x）=2xcosx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则=（）A0BCD考点：数列与三角函数的综合菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：由f（x）=2xcosx，又an是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+f（a5）=10a3cosa3（1+），由题意可求得a3=，从而可求得答案解答：解：f（x）=2xcosx，f（a1）+f（a2）+f（a5）=2（a1+a2+a5）（cosa1+cosa2+cosa5），
14、an是公差为的等差数列，a1+a2+a5=5a3，由和差化积公式可得，cosa1+cosa2+cosa5=（cosa1+cosa5）+（cosa2+cosa4）+cosa3=cos（a32）+cos（a3+2）+cos（a3）+cos（a3+）+cosa3=2coscos+2coscos+cosa3=2cosa3+2cosa3cos（）+cosa3=cosa3（1+），f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，10a3+cosa3（1+）=5，cosa3=0，10a3=5，故a3=，=2（）=2=故选D点评：本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa3=0，继而求得a3=是关键，也是难点，考查分
15、析，推理与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分把答案填在答题纸的相应位置上）13（4分）（2012四川）设全集U=a，b，c，d，集合A=a，b，B=b，c，d，则（UA）（UB）=a，c，d考点：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有专题：集合分析：由题意全集U=a，b，c，d，集合A=a，b，B=b，c，d，可先求出两集合A，B的补集，再由并的运算求出（UA）（UB）解答：解：集U=a，b，c，d，集合A=a，b，B=b，c，d，所以UA=c，d，UB=a，所以（UA）（UB）=a，c，d故答案为a，c，d点评：本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练
16、掌握交、并、补集的计算规则14（4分）（2012四川）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90考点：异面直线及其所成的角菁优网版权所有专题：计算题分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（2，1，2）=0，所以，即A1MDN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90，故答案为：90点评：本题考查空间异面
17、直线的夹角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出错15（4分）（2012四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是3考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先画出图象，结合图象得到FAB的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论解答：解：设椭圆的右焦点为E如图：由椭圆的定义得：FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2aAE）+（2aBE）=4a+ABAEBE；AE+BEAB；ABAEBE0，当AB过点E时取等号；AB+AF+BF=4a+ABAEBE4a；即
18、直线x=m过椭圆的右焦点E时FAB的周长最大；此时FAB的高为：EF=2此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=AB=3所以：FAB的面积等于：SFAB=3EF=32=3故答案为：3点评：本题主要考察椭圆的简单性质在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式16（4分）（2012四川）记x为不超过实数x的最大整数，例如，2=2，1.5=1，0.3=1设a为正整数，数列xn满足x1=a，现有下列命题：当a=5时，数列xn的前3项依次为5，3，2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xn=xk；当n1
19、时，；对某个正整数k，若xk+1xk，则其中的真命题有（写出所有真命题的编号）考点：命题的真假判断与应用菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；新定义分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，列举即可；需举反例；可用数学归纳法加以证明；可由归纳推理判断其正误解答：解：当a=5时，x1=5，正确当a=8时，x1=8，此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2为摆动数列，故错误；当n=1时，x1=a，a（）=0，x1=a成立，假设n=k时，则n=k+1时，=（当且仅当xk=时等号成立），对任意正整数n，当n1时，；正确；xk，由数列规律可知一定成立故正确答案为点评：本题主要考查了数
20、列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题（本大题共6个小题，共74分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）（2012四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：计算题分析
21、：（）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；（）的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望解答：解：（）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则；（）的可能取值为0，1，2，3P（=0）=；P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=；的分布列为 0 1 2 3 P数学期望E=0+1+2+3=点评：本题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题18（12分）（2012四川）函数f（x）=6cos2sinx3（0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且
22、ABC为正三角形（）求的值及函数f（x）的值域；（）若f（x0）=，且x0（），求f（x0+1）的值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有专题：计算题；综合题分析：（）将f（x）化简为f（x）=2sin（x+），利用正弦函数的周期公式与性质可求的值及函数f（x）的值域；（）由，知x0+（，），由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）解答：解：（）由已知可得，f（x）=3cosx+sinx=2sin（x+），又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，函数f（x）的周期T=42=8，即=8，=，函
23、数f（x）的值域为2，2（）f（x0）=，由（）有f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，由，知x0+（，），cos（x0+）=f（x0+1）=2sin（x0+）=2sin（x0+）+=2sin（x0+）cos+cos（x0+）sin=2（+）=点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题19（12分）（2012四川）如图，在三棱锥PABC中，APB=90，PAB=60，AB=BC=CA，平面PAB平面ABC（）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（）求二面角BAPC的大小考点：用空间
24、向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角菁优网版权所有分析：解法一（）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD可以证出OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4在RTOCP中求解（）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解解法二（）设AB中点为D，连接CD以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz利用与平面ABC的一个法向量夹角求解（）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解解答：解法一（）设AB中点为D，AD
25、中点为O，连接OC，OP，CD因为AB=BC=CA，所以CDAB，因为APB=90，PAB=60，所以PAD为等边三角形，所以POAD，又平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=ADPO平面ABC，OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4所以CD=2，OC=在RTOCP中，tanOCP=故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan（）过D作DEAP于E，连接CE由已知，可得CD平面PAB根据三垂线定理知，CEPA所以CED为二面角BAPC的平面角由（）知，DE=，在RTCDE中，tanCED=2，故二面角BAPC的大小为arctan2解法二：（
26、）设AB中点为D，连接CD因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO平面ABC，所以POAB，且POCD因为AB=BC=CA，所以CDAB，设E为AC中点，则EOCD，从而OEPO，OEAB如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（1，2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量设为直线PC与平面ABC所成的角，则sin=故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin（）由（）知，
27、=（1，0，），=（2，2，0）设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=，则y=1，z=1，所以=（，1，1）设二面角BAPC的平面角为，易知为锐角而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cos=故二面角BAPC的大小为arccos点评：本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力20（12分）（2012四川）已知数列an的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立（）求a1，a2的值；（）设a10，数列lg的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和
