1、2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案一、填空题（每小题8分，满分64分）1、已知，则_.解：0或已知两式平方相加，得或0或2、不等式的解集为_.解：原不等式等价于设，则在R上单调增.所以，原不等式等价于3、已知(表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则_.解：.由于，所以当时，原方程即；当时，原方程即.4、在平面直角坐标系中，设点，一只虫子从原点O出发，沿轴正方向或轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A的不同路线数目记为. 则_.解：猜测，可归纳证明.5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触若小球上一点P到这三个面的距离分别为4
2、、5、5，则这只小球的半径为_.解：3或11.分别以三个面两两的交线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.设点P坐标为，小球圆心O坐标为所以，6、将表示成两个型分数的乘积的不同方法数是_.（其中与是同一种表示方法）解：24.设是正整数，满足的正因数的个数为.注意到与是相同的表示方法，故所求的方法数为.7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q，则PEQ为锐角的概率为_.解：设正方形边长为1，.则从而，. 又.故所求概率为两直线及曲线所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即8、已知实系数一元二次方程有实根，则使得成立的正实数的最大值为_.解：不妨设，方程的两实根
3、为.由韦达定理，从而，当时等号成立.二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）9、已知数列的各项均为正数，且对任意，都有问：是否存在常数，使得对任意都成立？解：在中，令，得若存在常数使得，则，.由于，上式两边同除以，得所以，即存在常数，使得对任意都成立.10、已知两点，设A，B，M是椭圆上三点，满足，点N为线段AB的中点，求的值.解：设，则 由，得.M在椭圆上， 综合得，又线段的中点为，上式表明，点N在椭圆上，且该椭圆两焦点恰为两点.所以，由椭圆定义有11、已知，两个有限正整数集合满足：（这里用表示集合的元素个数）.平面向量集满足. 证明：证明：不妨设令由柯西不等式，注意到从而，
