1、数学与哲学浅谈数学文化的哲学分析数学与哲学浅谈数学文化的哲学分析吕英楷 1014202033（同组:梅嘉林 1014202034）1引言 在当今社会,科学技术正以迅猛的势头强烈地影响、渗透并冲击着人类社会几乎所有的领域,数学与数学技术是其中最强劲的浪潮之一。在新技术革命和信息革命中,数学理论与技术起着十分重要的作用。我们必须面对的是一个科学理论、技术与人文科学、社会相互交织、相互作用的崭新而又复杂的社会。在这个社会系统中,当进步与变革越来越多地依赖于科学时,我们便不能把数学等科学的意义仅仅局限于其狭隘的专业领域,而必须把这种狭隘的专业意义泛化为更广泛的文化意义。纵观人类科学与文明发展的历史,我
2、们可以发现:数学一直是人类文明发展的主要文化力量,同时人类文化的发展又极大地影响了数学的进步。近年来兴起的数学文化研究首先基于此种认识。 同时,由于受学校教育的影响,一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师、或许还有金融家才有用的一系列技巧,学习数学就是为了掌握这些技巧,而做到这一点最有效的办法就是重复训练。这种教育导致绝大部分人对数学的冷漠和厌恶,甚至许多权威、专家也对数学投以鄙夷的神色。然而,技巧仅仅是数学微不足道的方面,它远不能代表数学,就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。实际上,数学不仅是科学技术的理论基础和工具,而且也是推动社会进步和思
3、想解放的原动力,数学也能使人产生情感方面的体验,它能给人以乐趣和美的享受,能使人激动,也能使人厌恶,总之,它是人类文化的一种。我们希望把数学带回到人类文化中来,让大众看到数学的本来面目,体会到数学的美,意识到数学是为所有人服务的,数学是一种多元的人类文化活动,从而为正确、全面、深刻认识数学提供一个新的研究方向,这也正是选择数学文化这一论题的目的和意义。对于文化,有多种不同的看法。例如,在一种观点之下,数学就是文化,所以再说数学文化就没有意义。但是,不少的人乃至许多专门从事数学的人,愿意特别强调数学文化,认为它不只是数学自身,它还是一种文化。在后一种理解之下,文化即人文,即人的精神。数学不仅是关
4、于数的世界、形的世界或更广阔世界的科学,数学还是一门充满人文精神的科学。在这种观点之下,说数学文化就有意义了。为了让人们不仅从数学思想、方法的角度,而且还能从文化的角度领略数学的全貌和魅力,我们需要展示数学是一种文化。2数学文化的含义与哲学研究内容2.1 数学文化无论是从经典的文化学关于文化的广义或侠义的定义来看,还是从现代文化学关于文化的定义来看,数学都具有文化的所有特征,数学就是一种文化。广义的文化概念强调的是文化对人类创造活动的依赖性。数学对象终究不是物质世界中的真实存在,从这个意义上说,数学就是一种文化。狭义的文化概念强调的是文化对人的行为、观念、态度、精神等的影响。数学除了在科学技术
5、方面的应用外,其在精神领域的功效,特别是在对人类理性精神方面的影响也是有目共睹的。作为一种人类的理性精神,作为理性精神最有力的倡导者和体现者,今天数学已在一定程度上渗透到以前由权威、习惯和风俗所统治的领域,成为人们思想和行动的先导之一。某些数学成果如无理数和非欧几何的发现所产生的精神方面的影响,并不亚于对数学本身产生的影响,它们对认识论、伦理观、乃至人生观都产生了巨大的影响。因此,在这种意义上说,数学还是一种文化。 现代文化学强调的是文化与群体、传统等概念的密切关系,也就是文化的整体性。在现代社会中,数学家显然构成了一个特殊的群体数学共同体。在数学共同体内,每个数学家都必然地作为该共同体的一员
6、从事自己的研究活动,从而也就必然地处在一定的数学传统中,这种传统正好可以看作是一种成套的行为系统,并且有相对的稳定性。例如,中国古代的数学家以其注重实用和算法化的传统,从而形成了以5九章算术6为代表的中国传统数学文化的整体特色;古希腊的数学家则以其崇尚思辩和注重演绎的传统,形成了以5几何原本6为代表的古希腊数学文化的特色。因此,从这种意义上说,数学也构成了一种文化,数学共同体和数学传统正是数学文化整体性的体现。 以上分析从不同侧面说明了数学也是一种文化,数学与文化之间的联系是天然的。我们称数学文化,是因为这个概念能够涵盖人类数学活动的各个方面。数学文化的概念不仅能够描述整个社会数学文化的外在结
7、构,而且能够深刻地表现数学的人性特征。由于文化是人创造的,所以数学文化从一开始就拒斥了关于数学的虚无主义和强加在数学头上的神性光环。数学文化立足于人类创造,把人作为整个数学文化价值的评判者,数学文化中人的地位的确立奠定了数学在人文科学中应有的意义。 广义地说,数学文化可以表述为以数学科学为核心,以数学的思想、精神、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大功能的动态系统。其基本要素是数学以及与数学有关的各种文化对象。其系统内部相互作用的方式是多向的和交差的,包括数学以其内在的力量推动文化的进步和数学从相关文化中汲取动力和养分。数学文化涉及的基本领域包括哲学、艺术、历史、
8、经济、教育、思维科学、政治及各门自然科学。如果将数学文化作为人类文化的一个元素,而将人类文化的其他元素作为数学的文化环境的话,数学文化二数学+文化环境,如下图所示:但这里无意将数学文化看作一个包罗万象的集合,而更注重数学的文化层面,即狭义地说,数学文化是人类对数学整体的宏观的反思,而不去关注数学具体知识,狭义的数学文化主要研究数学与人类文化的动态关系。2.2 数学文化的哲学研究内容“没有数学我们无法看穿哲学的深度;没有哲学,人们也无法看穿数学的深度;而没有这两者,人们就什么也看不透。”德莫林思（B.Demofhns)这句格言深刻地表明了数学与哲学的丰厚关系。在我们看来它至少包括这么三层意思:“
9、一是认识数学必须依靠哲学的沉思,而认识哲学也必须依靠数学的分析;二是哲学走向纵深离不开数学的滋养,数学走向纵深离不开哲学的关怀;三是哲学和数学是人们看透一切事物所不可缺少的左眼和右眼。”自从有哲学以来,数学就成为哲学问题的一个重要来源,为哲学的思考与发展提供了丰富的实践环境。古希腊时代的哲学家多数也是大数学家,在他们眼里,数学与哲学是同宗同源的。在沟通数学与哲学的关系方面,有一门叫做数学哲学的学科,它所关注的就是数学的本质、性质和意义、数学的发明、发现与真理、以及数学与心智、数学与逻辑、数学与现实世界等一系列哲学问题。作为一门独立的学科,它的诞生已是很晚近的事了,但有关这一方面的研究活动却是源
10、远流长的,至今流传的数学柏拉图主义和数学经验主义都源于古希腊。从上世纪中后期数学哲学的研究好像不太繁荣,其中原因非三言两语能说清楚。近年来,数学文化研究的兴起为数学哲学的研究“注人了一阵清风”,将数学作为一种文化能够更好地解释数学哲学中的好多问题。3文化视野中的数学哲学3.1 从数学哲学转向数学文化哲学 从20世纪80年代以来,沉寂了多年的数学哲学领域里出现了一个新的热点:数学文化。它以文化为视角,在人类文化发展的历史过程中审视和理解数学,为人类认识数学开辟了全新的方向。但或许是由于人们对上世纪初的那场数学哲学大论战还心有余悸,许多关于数学文化的观点和评述缺少了哲学意蕴,而局限于诸如“数学是看
11、不见的文化”、“数学的形式美”、“数学是思维艺术”等肤浅的、有点似是而非的论证。然而,全面而深刻地认识数学必须依靠哲学的沉思,离开哲学滋养和关怀的数学认识是没有深度的正是在这个意义上,本文提出了数学文化哲学这一概念,并认为从数学哲学转向数学文化哲学是拯救陷人危机的数学哲学的有益尝试。数学文化哲学作为一门学科或一个研究方向,是将数学置于人类文化大背景下而对其进行哲学反思。一方面,数学文化哲学的研究对象是数学,只不过将数学作为一种文化或文化活动来研究,而不是仅限于本体论、认识论的范围,因而它区别于传统意义上的数学哲学;另一方面,这也是常被误解的,数学文化哲学研究仍然是对数学的哲学反思和追问,因而它
12、并不排斥传统的数学哲学问题,只是阐释的角度不同罢了。一般地,由于数学文化哲学不仅涵盖了对于数学本质及其价值更为深入的认识,而且从一个更为广泛的角度指明了影响数学发展的各个因素,因此是对传统数学哲学的深化和拓展。3.2 数学文化哲学的孕育和产生数学文化哲学的孕育和产生有着深刻的学术背景和社会因素。它既是在20世纪末当代西方科学哲学从逻辑实证主义向历史主义,然后又从历史主义向后现代主义转变的历史过程中孕育和产生,也是数学哲学无法应对现代数学研究过程中日益凸显的深层矛盾和问题的必然选择,还是对公众日益增长的对数学理解的需要的人文关怀。首先,科学哲学研究主题的转变对数学哲学产生了重要的影响。围绕科学主
13、义与人文主义的矛盾和斗争,西方科学哲学经历了从逻辑实证主义向历史主义,然后又从历史主义向后现代主义的两次重大转变。进一步讲,传统科学哲学的基本框架是认识论和分析哲学,其基本范围局限在认识论和方法论的领域内,主要是研究科学发现的逻辑。然而,20世纪60年代以库恩（T.Kuhn)为代表的历史主义使科学哲学的研究主题发生了重大转变。“历史主义者不仅将研究领域从单纯科学发现的逻辑扩展到科学发现的合理性问题,而且将科学哲学与科学史、科学社会学等学科联系在一起,这使科学哲学远远超出传统认识论和方法论的基本框架,更多地去关注科学发展的社会、历史和文化背景及其对科学的影响与作用。至于后现代主义者所涉及的范围和
14、内容则更为宽泛。”兴起于20世纪70年代的后现代主义的主旨就是消解“科学的整体”从而走向“文化的整体”,强调从人文的语境来理解科学,保持科学与艺术、政治乃至宗教之间的必要张力。科学作为人类把握客观世界的一种方式,也是众多社会意识中的一种,它并不比其它观念体系更客观和合理,因而也不应享有特殊的文化和社会地位。尽管这场导致了“科学哲学的革命”的转变发生在科学哲学领域,但却深深影响了数学哲学的现代研究。正是通过把库恩的基本思想推广到数学领域,基切尔(P.Kither)发展起了自己的“数学活动论”,认为数学主要地应被看作人类的一种创造性活动,一种在一定文化氛围下的创造性活动。这也就从一个侧面表明了从静
15、态的、绝对主义到动态的、多元主义而非一元主义的数学观的重要变化。上世纪末本世纪初,许多学者试图从数学文化、数学社会学的角度来解读数学发展的诸多努力无疑受到了后现代主义思潮的极大影响。其次,数学哲学(关于数学基本问题的讨论)在当代所面临的困境促成其向数学文化哲学的过渡。由于罗素提出的集合悖论使原本脆弱的数学大厦危机四伏,摇摇欲坠。罗素、怀特海、希尔伯特、布劳威尔等人以力挽狂澜之雄心,试图为数学建立一劳永逸的牢固基础,逻辑主义、直觉主义、形式主义因而相继出现,一场大论战把数学哲学推向了一个新的阶段。但是,哥德尔证明的不完全定理将他们的计划击的粉碎。从此以后,形式主义一撅不振,直觉主义也销声匿迹,数
16、学哲学领域内没有了真正的哲学活动,剩下的只是对以前工作的总结与评述。结果,数学界不再关心哲学问题,而且他们也丝毫没有感觉到因为数学基础的缺陷而对数学研究产生什么影响。相反,数学却以一日千里的速度飞速发展。许多以前对数学哲学感兴趣的数学大师如冯诺伊曼、外尔等,后来也很少涉足。一些新成长起来的数学家,更认为数学哲学不知所云,无关痛痒。布尔巴基学派的领袖丢东涅就公开讲,数学哲学家讨论的是“前天的数学”而不是“今天的数学”。的确,20世纪30年代以后,讨论数学哲学的数学家已寥寥无几,即便是有也要么是对那场数学哲学大辩论做点分析,要么就是对哥德尔的工作展开讨论,有的干脆一头扎在数学史的研究与整理中去。所
17、以,很多人认为,“自1931年以来,数学哲学已是毫无进展,停滞不前,失去了它在数学发展中的主导地位,甚至几乎完全消失了。”缝种观点看似极端,却从一个侧面反映出数学哲学发展的现状。 那么,数学哲学面临困境的症结究竟在哪里?如何摆脱现有的困境呢?笔者认为,是传统数学哲学过于狭隘的学科定位和框架使其道路越走越窄,以致无法应对和解决数学作为一种文化或文化活动所固有的深层矛盾和问题。也许,数学文化哲学给我们以启示,它提供了一个新的视角抛弃寻求一劳永逸基础的幻想,研究数学活动本身运行的内、外机制,这无疑会使陷人困境的数学哲学“柳暗花明”。美国数学家威尔德就是从这一角度研究数学文化的。他的两部著作数学概念演
18、化的初步研究和数学,一种文化体系中所表达的观点深受人们赞同,认为他关于数学是一种文化体系的观点是人们在迷失了数学方向多年后出现的第一个比较成熟的数学哲学观。最后,公众对数学的无法理解的质疑是数学文化哲学引人注意的又一个重要原因。从数学内部来说,存在着脱离社会文化的孤立主义倾向。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学发展无须社会推动,其真理性无须实践检验,当然,数学进步也无须人类文化的哺育。现在,每年发表的数学论文多达数万篇,产生几十万条定理,令人目不暇接。数学内部各个领域越分越细,使得不同领域的数学家根本无法交流,更不用说再出现象庞加莱、外尔那样统
19、揽数学全局的大家了。无怪乎许多数学家发出感叹:数学象失控的野马,不知将奔向何处。从数学外部,数学与社会的关系来看,情况更不容乐观。近代数学分析严密化的进程使数学界崇尚逻辑的严格推导,忽视直觉,更不管数学的结果是否有用,对现实世界及其他学科是否有意义。英国数学家哈代在其一个数学家的辩白中就曾宣称:“我从未做过有用的事,在我的发现中,从未有过或可能有过,直接或间接地、好的或不好的,对现实世界稍微有益的东西。”稍后的布尔巴基学派把数学带进更抽象、更严密、更公理化的方向,这种影响一直到现在还是数学研究的一种时尚。数学的这种孤立主义倾向,使其孤芳自赏而拒人于千里之外,公众对数学望而生畏,更不用说理解数学
20、了。上世纪70年代的“新数学运动”试图改变这种局面,但最后以失败而告终。“社会中的大多数人不知道现代数学究竟有何用,于是,数学不能再吸引天资聪颖的学生,也不能得到更多的研究资助,更不能从人类文化中汲取发展所需的养分。”然而,数学作为科学技术的理论基础和工具,是推动社会进步和人类思想解放的原动力。将其孤立于人类文化之外使其成为无源之水,这将是人类的巨大损失。数学文化哲学把数学放在社会、文化大背景下,以哲学的眼光来审视数学发展的内在线索和社会文化渊源,力图将数学带回到人类文化中来,让大众认识到数学作为一种多边的人类文化活动,是为所有人服务的。在电子计算机等数学成果对人类文化产生巨大影响的今天,人们
21、理解数学的需求日趋高涨,数学文化哲学关于数学与文化的关系、数学发展的文化模式等方面的研究或许是人类真正理解数学的一把钥匙。由此可见,随着科学哲学研究主题的重大转变,在拯救传统数学哲学的努力和公众理解数学需求的推动下,数学哲学研究在方向上的调整已经势在必行。那就是冲破传统本体论、认识论的藩篱,从数学哲学走向数学文化哲学,还数学以本来面目,从而从根本上解开使数学哲学陷人困境的症结,推动数学哲学进一步向前发展。四数学文化教育的哲学反思数学文化具有比数学知识体系远为丰富和深邃的文化内涵。数学文化是一个大概念,它比以往任何一种描述数学的概念都更具概括性。纵观我国数学教育在近几十年来关于教学目的的不同提法
22、,从双基(基础知识和基本能力)到能力(运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力),再到素质。如果说双基和能力的培养尚有具体可操作的教学目标的话,那么素质教育的提法则显得好高鹜远和空洞无物了。在此,我们提出数学教育从本质上讲就是数学文化的教育这样一种观点。而数学文化的教育不仅包括知识、技能、能力的教育,而且更重要的,它还包括了数学思想、数学悟性、数学经验以及数学品质的教育。在数学文化的教育中,知识与方法的传授是伴随着数学精神的熏陶同时进行的。数学文化教育摈弃把数学当作单纯的科学工具的数学教育观,而推崇以理性主义和实事求是为基准的数学化的人格与品性。数学文化教育把育人放在首位,把宏扬科学精神,养成良好
23、的科学思维习惯,培养正确的科学态度,建立科学的世界观放在首位。数学文化教育应该有一种使命感,即逐渐扭转国民在承传历史与传统中所凝固的非科学化思想倾向。非科学化的思想根深蒂固,延绵数千年而不绝,其重要原因之一就是我们的教育制度仅仅重视科学知识的教授而完全忽略了科学精神的培养,以至于出现了以现代科学为幌子招摇撞骗的伪科学行径和各种封建迷信活动,并有日益猖撅之势。这不能不说是对教育极大的讽刺。这也促使我们反思现代教育,特别是科学教育的失误。从数学教育看,在升学教育的制度下,我们过分地关心学生在解答数学题时的一招一式,我们太多地期待学生的好分数,而恰恰忘记了怎样把数学的思想精神和文化品格灌输给学生。因
24、此,数学教育的本质不是别的,而只能是数学文化教育。数学教育的本质决定了数学教育的目标。作为人类社会的一种自觉活动,教育的一个主要特征就是它具有明确的目的性,而且,又正是所说的目的性在很大程度上决定了教学内容、教学方法乃至全部的教育过程。那么,究竟什么是数学教育的基本目标呢?对于这一何题,从历史的角度看有多种不同的解释。其中一种流行的观点认为数学教育应着重于数学的工具作用,数学教育的主要目标就是帮助学习者掌握数学这样一种认识和实践活动的重要工具。作为这种观念的一种极端表现,“实用主义”在20世纪上半叶的美国就曾占据了主导地位,其代表人物豪森(G.Hawson)等人认为“只有可以直接应用的数学论题
25、才应放在旨在为一般公众提供教育的学校中去教,在小学里应以计算的技能技巧为主,而在中学里应以简单的代数、三角以及商业计算等应用为主。”上述倾向实际上反映了这样的社会需求,即能培养出为大规模机器生产所需要的大量的能够胜任简单机械劳动的廉价劳动力。当然,数学的工具作用不可忽视,但如果把这种工具作用仅仅限于直接的应用就过于肤浅了,正如亚历山大洛夫（P.Alxenador）在数学它的内容、意义和方法一书中所指出的,我们应在日常生活和工作、工程技术、科学研究这样三个层次上同时肯定数学的重要作用。“第一、我们经常地,几乎每时每刻在生产中、在日常生活中、在社会生活中运用着最普通的数学概念和结论,但却经常没有意
26、识到。第二、如果没有数学,全部现代技术都是不可能的,离开或多或少复杂的计算,也许任何一点技术的改造都是不可能的,在新的技术部门的发展上数学起着十分重要的作用。第三、几乎所有科学部门都多多少少很实际地应用着数学,没有数学,这些科学的进步简直就是不可能的。”进一步分析,以上这种把数学看作纯实用工具的观点反映了人们的这种静态的数学哲学观,即数学就是数学知识的汇集,而且,数学的发展也主要是数学知识的不断累积过程。从60年代起,在数学哲学领域内动态数学观逐渐占了上风,其基本立场认为数学作为一种文化体系主要地应被看成人类的一种创造性活动。显然,按照这种动态的数学观,在数学教育中我们也就不应唯一地去强调数学
27、知识的学习,而应更加重视如何帮助学生学会像数学家那样去工作,像数学家那样去思维,数学学习并不是一个被动的吸收过程,而是一个以学习者已有的知识和经验为基础的主动建构过程。使学生达到“数学地思维”这样的目标,直接关系到教学内容的选择和数学方法的应用,将思维方法的训练渗透于日常教学活动之中,以思想方法的分析去带动、促进具体教学内容的教学无疑是恰当的方法,因为只有这样我们才可以将数学课讲活、讲懂、讲深。所谓讲活,是指教师应通过自己的教学活动为学生展现出活生生的数学研究过程,而不是死的数学知识;所谓讲懂,是指教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容,而不是阿圈吞枣、死记硬背;所谓讲深,则是指不仅应使学生掌
28、握具体的数学知识,更重要的是教会学生“数学地思维”。最后,就数学教育的基本目标而言,我认为,除去从个人的角度分析以外,我们还应清楚地看到数学作为一种文化对于整个社会、民族乃至全人类文化进步的重要意义。一个没有相当发达数学文化的民族是注定要衰落的,也就是说,每个文明都有自己的数学文化,我们应当努力建立民族或国家的清醒的“数学意识”。5结束语 数学文化作为一个新的研究方向,其要旨是站在人类文化的高度对数学的本质、历史、发展及其相关因素的整体反思。而作为一门学科,数学文化二数学+环境,即数学文化是以数学知识为核心、以数学与其它人类文化的互动关系为组成部分的动态、开放的系统。我是倾向于前一种观点的,因
29、为如果是后者,那数学与数学文化又是什么关系呢?这必然会造成一些不必要的混乱。在此基础上,本文还列举了数学文化这一研究方向所涉及的主要内容和范围,基本上是近年来数学文化研究者所关注的主要问题。在一个新的研究方向兴起的初期,采取这样不科学的办法我想也是可以理解的。 从人类文化的视角审视数学的产生与发展,必然会在人们对数学的传统思维中注人新的内涵。数学文化的本质是一种多元文化,或是一种多元的思维方式,数学的生命力正是植根于养育它的文明的社会生活之中。实用的、科学的、美学的、哲学的等各种因素共同促成了数学的形成,把这些做出贡献、产生影响的因素中的任何一个除去,或者抬高一个而去贬低另一个都是不可能的,我们甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。这也正是传统数学哲学立足于数学内部反思数学而陷人死胡同的重要原因。离开数学的人性特征或文化特征而去谈论数学是不现实的。因此,从数学哲学转向数学文化哲学不仅是学科发展的要求,也是现实的必然选择。数学文化教育是数学文化观的重要传播手段,重新认识数学教育的本质、目标和基本原则也是数学文化研究的重要内容。
