1、小学典型数学例题汇总小学典型数学问题及例题汇总归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量份数1份数量1份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量份数）所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1：3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草 _ 千克。解:1、根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：2434=2(千克)。2、那么5头牛一天吃25=10(千克)的草料。3、那么6天就能吃106=60(千克)草料。例2：5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。如果每人
2、每分钟制作的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做 _ 张正方形纸片？解：1、可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，2408=30(张)。2、再算出1名同学1分钟制作的数量，305=6(张)。3、现在有5+2=7(名)同学，每人每分钟做6张，要做15分钟，那么他们能做7615=630(张)正方形纸片。例3：某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要 _ 小时完成？解：1、4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零件60045=30（个）。2、增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台
3、车床每小时生产零件730=210（个）。3、如果生产6300个零件，需要6300210=30（小时）完成。归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时走的总路程等。【数量关系】1份数量份数总量总量1份数量份数总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例1：王大伯家的干草够8只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草够4只牛吃（ ）天？解：1、可以算出这些草够1只牛吃多少天，用87=56(天)。2、算4只牛能吃多久，用564=14(天
4、)。例2：小青家有个书架共5层，每层放36本书。现在要空出一层放碟片，把这层书平均放入其它4层中，每层比原来多放 （ ）本书。解：方法一：1、根据题意可以算出书架上有536=180(本)书。2、现在还剩下5-1=4(层)书架。3、所以每层书架上有1804=45(本)书。比原来多45-36=9(本)书。方法二：也可以这样考虑，就是要把其中一层的36本书平均分到其他4层，所以每层比原来多放364=9（本）书。例3：一个长方形的水槽可容水480吨，水槽装有一个进水管和一个排水管。单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可以把满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？解：1、要求两管齐开需
5、要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度，进水每小时4808=60（吨）；排水每小时4806=80（吨）。2、当两管齐开，排水速度大于进水速度，即每小时排80-60=20（吨）。3、再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。48020=24（小时）。和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数(和差)2小数(和差)2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1：两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重 _ 千克，第二筐水果重 _ 千克。解：因为第一筐比第二筐重1、根据大
6、大数(和差)2的数量关系，可以求出第一筐水果重(150+18)2=84（千克）。2、根据小数(和差)2的数量关系，可以求出第二筐水果重(150-18)2=66（千克）。例2：登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家120名，原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（ ）名专家。解：1、原来从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，说明原来第一组比第二组多20+20=40（人）2、根据小数(和差)2的数量关系，第二组人数应该为(120-40)2=40（人）。例3：某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比
7、第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有多少人？解：1、第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，那么第一车间就比第三车间多25人，因此第三车间的人数是（280-25-15）3=80（人）。2、据此可得出第一、二车间的人数和倍问题【含义】已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】大数(和差)2小数(和差)2总和(几倍+1)较小的数总和-较小的数较大的数较小的数几倍较大的数两个数的差（几倍1）=较小的数较小的数几倍=较大的数【解题思路和方法】年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。年龄问题都可以转化为和差、和倍、差倍问
8、题。简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈 _ 岁。解：1、本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不变的。2、爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，当爸爸42岁时，妈妈是40岁。例2：姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时，那时妹妹 _ 岁。解：方法一：1、利用年龄同增同减的思路。2、姐妹俩今年的年龄之和是：15+12=27（岁），年龄之和到达39岁时需要的年限是：（39-27）2=6（年）。3、那是妹妹的年龄是12+6=18（岁）。方法二：1、利用年龄差不变的思路。2、两姐妹的
9、年龄差为15-12=3（岁），再根据小数(和差)2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）2=18（岁）。例3：爸爸今年50岁，哥哥今年14岁， _ 年前，爸爸的年龄是哥哥的5倍。解：1、不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。2、问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥哥的5-1=4倍。3、根据两个数的差（几倍1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年龄是（50-14）4=9（岁）。4、再根据题意可求出14-9=5（年）前。例4：今年姐妹两人的年龄和是50岁，曾经有一年，姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，且那时姐姐的年龄恰好是妹妹年龄
10、的2倍。那么姐姐今年 _ 岁。解：1、当姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍时，我们设那时妹妹的年龄是1份，那么姐姐的年龄就是2份，那么姐姐与妹妹的年龄差就是1份。2、因为那时姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，所有妹妹今年的年龄也是2份。因为年龄差不变，所以今年姐姐的年龄应该是2+1=3份。3、今年姐妹两人的年龄和是50岁，对应2+3=5份，求出1份是505=10（岁），那么姐姐今年是103=30（岁）。（相遇问题）【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】
11、简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。例1：欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。这条马路长（）。解：根据公式总路程（甲速乙速）相遇时间，可以求出这条马路长（6080）5 =700（米）。例2：甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。到达目的地后立即返回。已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距 _ 千米。解：1、本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来分析是解决这类问题的关键。2、画线段图 3、从图中可以看出，第一
12、次相遇时甲行了50千米。甲乙合行了一个全程的路程。从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能行502=100(千米)。4、因此甲一共行了50+100=150(千米)，从图中看甲所行路程刚好比AB两地相距路程还多出60千米。所以AB两地相距150-60=90(千米)。例3：欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每秒3米，欢欢的速度是每秒2米。如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过 _ 次。解：1、根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的
13、两倍。（线段图参考例2。）2、根据“相遇时间=总路程速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需要80（3+2）=16（秒）。3、因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个全程，所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是16秒的2倍，也就是32秒，则经过第一次相遇后，剩下的时间是600-16=584（秒），还要相遇58432=18.25（次），所以在这段时间里共相遇过18+1=19（次）。追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这
14、类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。例1：某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。警官赶紧以每秒3米的速度追，（ ）秒后警官可以追上这个匪徒。解：1、从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。根据公式：路程差速度差=追及时间。2、路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。所以追及的时间为1001=100（秒）。例2：甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每
15、秒跑8米，同向出发。那么甲乙二人出发后（ ）秒第一次相遇？解：1、由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。2、由追及时间=总路程速度差可得：经过400（8-6）=200（秒）两人第一次相遇。例3：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。那么甲、乙两地相距多远？解：1、根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。首先是小轿车和面包车的相遇问题；其次是面包车和大客车的相
16、遇问题；然后是小轿车与大客车的追及问题。最后通过大客车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地距离。2、画线段图，图上半部分是小轿车和面包车相遇时三车所走的路程。图下半部分是第一次相遇30分钟之后三车所走的路程。3、由图可知，当面包车与大客车相遇时，大客车与小轿车的路程差为小轿车与大客车30分钟所走的路程。有小轿车与大客车的速度差，有距离，所以可以求出车辆行驶的时间。（60+48）0.5（60-42）=3（小时）。4、由于大客车与面包车相遇，共行一个行程，所以AB两地路程为（42+48）3=270（千米）。列车问题【含义】与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度
17、。【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。例1：一列火车全长126米，全车通过611米的隧道需要67秒，火车的速度是多少米/秒？解：1、本题考查的是火车过桥的问题，解决本题的关键是知道火车完全经过隧道所走的路程是一个车身长隧道长，进而求出车速。2、因此火车的速度为：（126611）6711（米/秒）。例2：在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长208米，每秒行18米，另一列
18、火车每秒行19米，两列火车从相遇到完全错开用了12秒钟，那么另一列火车长多少 米？解：两列火车从相遇到完全错开，所行路程之和刚好是它们的车身长度之和。根据“路程和=速度和时间”可得，另一列火车长=（18+19）12-208=236（米）。例3：一列火车通过一座长90米的桥需要24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。原来火车每秒行多少米？解：1、根据“火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒”可知，如果火车用原来的速度通过222米的隧道，则要用182=36（秒）。2、隧道比大桥长222-90=132（米），火车要多用36-24=12（秒）行驶这一段路
19、程，根据速度=路程时间，可以求出原来火车每秒行13212=11（米）。时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的追及问题。【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60等为“追及问题”后可以直接利用公式。例1：钟面上从时针指向8开始， 再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合?（精确到1分）解：1、此类题型可以把钟面看成一个环形跑道，那么本题就相当于行程问题中的追及问题，即分
20、针与时针之间的路程差是240。2、分针每分钟比时针多转6-0.5=5.5，所以需要2405.544（分钟）。也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。例2：从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？解：我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可以转化成追及问题，从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。例3：一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时，小明发现，纪录片
21、播放结束时，手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下，这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）解：1、解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080，进而转化成相遇问题来解决。2、两个多小时，分针与时针位置正好交换，所以分针与时针所走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走了3603=1080，而分针和时针每分钟的合走6+0.5=6.5，所以合走1080需要10806.5166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问
22、题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总量（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总量（大盈小盈）分配差参加分配总量（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1：小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走70米，则可提前5分钟到校，小明家到学校的路程是多少米？解：1、分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到3分钟”转化为比计划路程少行503=150（米），把“提前5分钟”转化为比计划路程多行705=350（米），这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。2、根据公式，求出原计划到校的时间：（350
23、+150）（70-50）=25（分钟）。3、所以小明家到学校的路程：50（25+3）=1400（米），或者70（25-5）=1400（米）。例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块；若每人擦6块，正好擦完。擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少块？解：1、由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目条件转化成一般盈亏问题。“其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块”可以转化为“每人擦5块，则余10块”。2、这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有：（10-0）（6-5）=10人，玻璃共有105+10=60块。例3：动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子
24、分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。一共有多少只猴子？解：1、分析题意，题中有两种分配方式，联系“盈亏问题”，我们可以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的数量少210=20（个），再把“有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子”理解为每只猴子分9个，则还少（9-8）2+3=5（个）。2、这时把题目看成“双亏问题”，求出猴子的数量：（20-5）（9-8）=15（只）。百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”
25、，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量标准量比较量百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例1：在植树节里，某校六年级学生在校园内种树8棵，占全校植树数的20%，则该校在植树节里共植树多少棵？解：已知六年级学生的种树棵数以及所种棵数占全校植
26、树数的比值，直接用除法运算即可。所以：820%=40（棵）例2：商店新上架了一批连衣裙，第一天卖出总数的25%，第二天卖出45件，第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分一，最后剩下20件，则商店原先进了多少件连衣裙？解：1、把这批连衣裙的总数看作单位“1”，已知第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分之一，也就是第三天卖出了25%的和45的，由此可以求出与（45+45+20）对应的分率。2、根据已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数，用除法解答。（45+45+20）（1-25%-25%）=120（件）例3：一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，白子占总数的40%；再拿走49枚黑棋子后，
27、白子占总数的75%，则原来这堆棋子一共有多少枚？解：1、本题考察的是百分数应用题的相关知识，解决本题的关键是当一种棋子变化时，抓住另一种棋子的数量不变，统一不变量的份数，进而解决问题。2、由条件可知，当拿走49枚黑子时，此时白子的数量没有变化，那么拿走49枚黑子前，黑子与白子的数量比为（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子与白子的数量比为（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相当于9-2=7（份），故每一份是497=7（枚）棋子3、拿走49枚棋子之前，黑子有79=63（枚），白子有76=42（枚）。4、再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的数
28、量没有变化，所以原来黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原来这堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。牛吃草问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例1：这是一片新鲜的牧场，现有400份草，每天都均匀地生长6份草。若一开始放26头奶牛，每头奶牛每天吃1份草。这片牧场的草够奶牛吃多少天？解：1、本题考查的是牛吃草的问题，解决本题的关键是要求出每天新增加的草量，在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的
29、草。2、由题目可知：原有的草量+新长的草量=总的草量。奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新长的草。原有的草量是不变的。每天新长的草量是匀速的，每天都长6份，每头奶牛每天吃1份，新长的草刚好够6头奶牛吃的量，那么剩下的20头奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，40020=20（天），够吃20天。例2：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要 多少台同样的抽水机？解：设每台抽水机每天可抽1份水。5台抽水机20天抽水：520=100（份）6台抽水机15天抽水：615=90（份）每天入库的水量：（100-90）（20-15
30、）=2（份）原有的存水量：100-202=60（份）需抽水机台数：606+2=12（台）答：要求6天抽干，需要12台同样的抽水机。例3：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需 多少分钟？解：1、本题考查的是牛吃草的问题，“旅客”相当于“草”，检票口相当于“牛”。2、由题目可知，旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个检票口1分钟检票的人数为1份。那么4个检票口30分钟检票430=120（份），5个检票口20分钟检票520=100（份），多花了10分钟多检了120-100=20（份），那么每分钟新增顾客数量为2010=2（份）。那么原有顾客总量为：120-302=60（份）。同时打开7个检票口，
