1、;例如X、Y、Z方向的单位矢量A、B、C可以定义如下：VECTOR A（1, 0, 0）, B（0, 1, 0）, C（0, 0, 1） ;矢量运算的函数如表2.1所示。float VectorMagnitude（VECTOR A）;功能：矢量求模输入：A返回：A 的模 |A|void VectorNormalize（VECTOR *A）;矢量归一化输出：如果 |A|=0，输出矢量仍为 A；否则输出矢量为 A/（|A|）VECTOR operator + （VECTOR A, VECTOR B）;矢量相加A, BA + BVECTOR operator - （VECTOR A, VECTOR
2、B）;矢量相减A BVECTOR operator * （VECTOR A, float s）;VECTOR operator * （float s, VECTOR A）;矢量缩放A, ss * AVECTOR VectorCross（VECTOR A, VECTOR B）;VECTOR operator * （VECTOR A, VECTOR B）;矢量叉积A与B的叉积float VectorDot（VECTOR A, VECTOR B）;float operator （VECTOR A, VECTOR B）;矢量点积A与B的点积表2.1 矢量运算函数2.1.2 矩阵运算 Intra3D 2
3、.0 C+类库中矩阵运算程序见 Intra3D-DLLIncludeLayer1Algebra Matrix.h和Intra3D-DLLLayer1AlgebraMatrix.cpp。COM库的程序见 Intra3D-COM Layer1Matrix.h和Matrix.cpp。矩阵运算的函数如表2.2所示。void MatrixAdd（float *M, const float *A, const float *B, int i=4, int j=4）;矩阵相加矩阵A（i,j） 与 B（i,j）M=A+Bvoid MatrixSub（float *M, const float *A, cons
4、t float *B, int i=4, int j=4）;矩阵相减M=A-Bvoid MatrixMultiply（float *M, const float *M1, const float *M2, int i1, int j1, int i2, int j2）;矩阵相乘矩阵M1（i1,j1） 与M2（i2,j2）M （i1,j2） = M1*M2约束：i2=j1，否则不计算 Mvoid MatrixTranspose（float *M, const float *A, int i=4, int j=4）;矩阵转置矩阵A（i,j）M（j,i） = A 的转置BOOL MatrixInve
5、rse（float *A, int n=4）;矩阵求逆 A（n, n）A = A 的逆TRUE 表示求逆运算成功；FALSE 表示该逆矩阵不存在，此时A 保持不变。void MatrixIdentity（float *A, int n=4）;矩阵归一化 A = A 的归一化矩阵VECTOR VectorTransform（VECTOR V, float M16）;矢量的矩阵旋转变换初始矢量 V，变换矩阵M16V 经过 M 变换后为 V, 函数返回 V表2.2 矩阵运算函数2.1.3 四元组运算与旋转变换一、复数概念 记Z为一复数，Z为Z的共轭复数，|Z| 为Z的模，则有： Z = a + bi
6、 Z= a bi 其中 i * i = -1 。 两个复数 Z1, Z2 相乘可表示为： Z1 = a1 + b1 i Z2 = a2 + b2 i Z1*Z2 =（a1 * a2 - b1 * b2 ） + （a1 * b2 + b1 * a2）i二、四元组概念 四元组是复数的一种扩展。记q为一四元组，q为q的共轭四元组，|q|为四元组的模， 为q的逆（即为1/q），则有： q = w + x i + y j + z k q= w - x i - y j - z k | q | = 1 = q （q1 * q2） * q3 = q1 * （q2 * q3） q1 * q2 q2 * q1 其
7、中 i * i = -1 j * j = -1k * k = -1 i * j = - j * i = kj * k = - k * j = ik * i = - i * k = j 四元组还可以表示为如下形式： q = w + xi + yj + zk = x y z w = （ s , v ） s = w v = x y z 两个四元组 q1和 q2相乘可表示为： q1 = （ s1, v1 ） q2 = （ s2, v2 ） q1*q2 = （ s1*s2 - v1v2 , s1*v2 + s2*v1 + v1v2）三、用四元组表示旋转变换 设一旋转变换的旋转轴为 u（单位矢量），旋转角
8、度为。则与此旋转变换等价的四元组q为： q = （ s, v ） s = cos（/2） v = u sin（/2） 如果将空间一点p表示成四元组的形式 P=（0,p），则P点经过q旋转得到点Protated ： Protated = q * P * 设有两个四元组 q1, q2分别表示前后两个旋转变换，则有： Protated = q2 * （ q1 * P *） * = （q2 * q1） * P * （*） = （q2 * q1） * P * 可见，两个四元组q1, q2的旋转结果就相当于一个四元组（q2 * q1）表示的旋转变换。这与用矩阵相乘来表示旋转变换非常相似，事实上四元组 q（
9、w,x,y,z）等价于如下旋转矩阵： w*w + x*x - y*y - z*z 2*x*y + 2*w*z 2*x*z 2*w*y 0 2*x*y 2*w*z w*w x*x+ y*y -z*z 2*y*z + 2*w*x 0 z*x*z +2*w*y 2*y*z 2*w*x w*w x*x y*y +z*z 0 0 0 0 w*w + x*x + y*y +z*z 有关四元组更深入的论述可参考文献Hearn 1997 Downs 1998。四、程序设计 C+类库中四元组运算程序见 Intra3D-DLLIncludeLayer1AlgebraRotation.h 和Intra3D-DLLL
10、ayer1AlgebraRotation.cpp。COM库中四元组运算程序见Intra3D-COMLayer1 Rotation.h 和Rotation.cpp。 四元组的数据结构定义如下：class QUATERNION float x, y, z, w; QUATERNION（float x=0.0, float y=0.0, float z=1.0f, float w=0.0）;四元组运算的函数如表2.3所示。float QuaternionMagnitude（QUATERNION A）;四元组求模四元组A|A|void QuaternionInverse（QUATERNION *A）;
11、四元组求逆如果 |A|=0，不改变 A；否则输出为 A 的逆void QuaternionConjugate（QUATERNION *A）;四元组求共扼A 的共扼QUATERNION operator * （QUATERNION A, QUATERNION B）;四元组相乘四元组A与BA * Bvoid QuaternionToMatrix（float M16, QUATERNION Q）;求四元组等价的旋转矩阵四元组QM为与四元组Q等价的旋转矩阵表2.3 四元组运算函数 四元组运算的程序如下：const float DELTA_ROT=1.0E-10; / 允许存在的误差float Quat
12、ernionMagnitude（QUATERNION A） return float（sqrt（A.x*A.x + A.y*A.y + A.z*A.z +A.w*A.w）;void QuaternionNormalize（QUATERNION *A） float magnitude = float（sqrt（A-x*A-x + A-y*A-y + A-z*A-z +A-w*A-w）; if（magnitude = DELTA_ROT） A-x = A-x/magnitude;y = A-y/magnitude;z = A-z/magnitude;w = A-w/magnitude; void
13、QuaternionInverse（QUATERNION *A） float magnitude2 = A-z + A-w; if（magnitude2 x = -A-x/magnitude2;y = -A-y/magnitude2;z = -A-z/magnitude2;w/magnitude2;void QuaternionConjugate（QUATERNION *A）x;y;z;QUATERNION operator * （QUATERNION q1, QUATERNION q2） QUATERNION Q; Q.x =q1.w * q2.x + q1.x * q2.w +q1.y *
14、 q2.z - q1.z * q2.y; Q.y =q1.w * q2.y + q1.y * q2.w +q1.z * q2.x - q1.x * q2.z; Q.z = q1.w * q2.z + q1.z * q2.w +q1.x * q2.y - q1.y * q2.x; Q.w =q1.w * q2.w - q1.x * q2.x - q1.y * q2.y - q1.z * q2.z; return Q;void QuaternionToMatrix（float M16, const QUATERNION quat） float m44; float wx, wy, wz, xx,
15、yy, yz, xy, xz, zz, x2, y2, z2; / calculate coefficients x2 = quat.x * 2.0f; y2 = quat.y * 2.0f; z2 = quat.z * 2.0f; xx = quat.x * x2; xy = quat.x * y2; xz = quat.x * z2; yy = quat.y * y2; yz = quat.y * z2; zz = quat.z * z2; wx = quat.w * x2; wy = quat.w * y2; wz = quat.w * z2; m00 = 1.0f - （yy + zz
16、）; m01 = xy + wz; m02 = xz - wy; m03 = 0.0f; m10 = xy - wz; m11 = 1.0f - （xx + zz）; m12 = yz + wx; m13 = 0.0f; m20 = xz + wy; m21 = yz - wx; m22 = 1.0f - （xx + yy）; m23 = 0.0f; m30 = 0; m31 = 0; m32 = 0; m33 = 1; for（int i=0; i4; i+） for（int j=0; j j+） Mi*4+j=mij;由于四元组的（x,y,z,w）变量并不直观，Intra3D 提供更加简明
17、的旋转结构ROTATION来表示旋转变换。ROTATION的数据结构定义如下：class ROTATION VECTOR axis ; / 旋转轴，为单位矢量 float angle; / 旋转角度，0 - 360 度 ROTATION（float x=0.0, float y=0.0, float z=1.0, float angle=0.0）; ROTATION（VECTOR axis, float angle）; ROTATION运算是通过四元组运算来实现的，函数如表2.4所示。ROTATION operator * （ ROTATION R1, ROTATION R2）;ROTATIO
18、N 相乘，先执行 R1 旋转，后执行 R2 旋转。R1, R2R1与R2的旋转合成Void RotationToMatrix（float M16, ROTATION R）;求与ROTATION结构等价的旋转矩阵RM为与R等价的旋转矩阵VECTOR VectorTransform（VECTOR V, ROTATION R）;矢量的旋转变换初始矢量 V, 旋转结构RV 经过 R变换后为 V表2.4 ROTATION运算函数ROTATION运算的程序如下：/ 将 ROTATION 结构表示成 QUATERNIONQUATERNION RotationToQuaternion（const ROTATI
19、ON R） float theta = R.angle/180.0f*3.14159f; float cosValue = cos（theta/2.0f）; float sinValue = sin（theta/2.0f）; Q.x = sinValue*R.axis.x; Q.y = sinValue*R.axis.y; Q.z = sinValue*R.axis.z; Q.w = cosValue;/ 将 QUATERNION 结构表示成 ROTATIONROTATION QuaternionToRotation（const QUATERNION Q） ROTATION R; float
20、halfTheta= acos（Q.w）; float sinValue = sin（halfTheta）; if（sinValue -DELTA_ROT） & （R1.angle （R2.angle （R.angleDELTA_ROT） ） return V; Q=RotationToQuaternion（R）; return VectorTransform（V, Q）;2.1.4 鼠标跟踪球算法 用鼠标在窗口中转动一个形体，记窗口的宽度为w，高度为h，形体的转动中心坐标为（cx, cy），鼠标的起点坐标为P1（mx1, my1），终点坐标为P2（mx2, my2）。跟踪球算法的目的就是要计算出旋转轴矢量u，与旋转角度。将P1、P2投影到以（cx, cy）为中心的一个半球面上得到P1与P2，P1与P2在半球面上的矢量表示记为v1与v2。可以近似地认为旋转轴矢量u即为v1与v2的叉积（Cross Product）： u = v1 v2旋转角度即为v1与v2的夹角，可用矢量点积（Dot Product）求出： = 180 * acos（v1v2）/ 问题的关键在于求出任一鼠标坐标（mx, my）在半球面上的投影矢量v，该算法的程序如下：
