1、整理版中考数学专题4几何模型之隐圆问题含答案AD=AC=AB ZADB二 ZACB 2 ADB= ZACB2020中考专题4几何模型之隐圆问题班级 姓名 【模型讲解】常见的隐E1模型有：（1）动点到定点的距凄为定长：2）四点共圜：（3）定边对定至（专题3）等.ZBAC 十 ZBDC=130【例題分析】例1底 例299 M3 例2.在矩形ABCD中，己知肋 2沏，BC - 3cm ,现有一根长为2c加的木棒F索贴着矩形的边 （即两个端点姑终落在矩形的边上儿 按逆时针方向滑动一間.则木燈刃的中点P在运动过程 中所围成的SS形的面祝为 cm2.例3 如图，定饪弦CD在以肋为直径的OO上滑动（点C.
2、D与点人3不重含 M是CD的中 点，过点C作CP丄43于点”若AB=8,则PM的最大值是 例4 如图，点/与点B的坐标分别是（1, 0）, C5, 0）点P是该直您坐标系内的一个动点（1使Z*PB=30的点P有 个$（2若点P在y轴上，且ZAPB=3Q,求漓足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时.PB是否存在最大值？若存在.求点P的坐标：若不存在.请说 明理由-【巩固训练1 如图1,矩形BCD中，4B.2, AD3，点E. F分别 Q、DC边上的点，且F-2,点G 为EF的中点点P为BC上一动点.则P4 + PG的最小值为 2 如图2,在矩形/BCD中，AB4 , AD6f 是肋边的中
3、点.F是找段BC边上的动点，将A5SF沿F所左直线折叠得到 EBT,连BD .则FD的最小值是3在平面直角坐标系中，点/的坐标为（3,0）,点为栢正半粧上的一点.点C是第一象P5内一 点，KXC-2 .设tanZBOC-w j则加的取范團是 4 如图 3.往 RtAABC 中,ZC = 90, C = 6, BC = 8,点 F 在边 AC 9 并且 CF = 2,点E为边3C的动点，将ACEF沿直线M和折，点C落在点P处，则点P到边距蘆的最小值是 5 如0 4,四边形 ABCD 中，DC/iAB 9 5C-1, ABACADl.则加的长为 .6如图 5.在四边形 ABCD 中，4B=/C=X
4、ZX 若ZBAC=259 , ZCAD=759 则ZBDC=_ZDBC= 7定球射门.不考虑其他因素,仅考虑射点到球门肿的张介犬小时.张角越大，射门越好如图6 的正方形网格中，点A9 BC9 D9 E均在格点上，球员帝球沿CQ方向进攻，最好的射点在（ ）B.点D或点EC线段DE （异于毘点）上一点 D线段CD （异于端点）上一点&如GE7.己知。的査径，PQ是0的弦，PQ与不平行.R是PQ的中点.作PSIAB, QTLAB,垂足分别为S、T （SHE,芥且ZS2?r=60，则孕的值磚于_AB9.如图 & 若 PA=PB ZAPB=2Z*CB,AC 与 PB 交于点 D,且 PB=4PD=3,则
5、 AD DC=10左平页直角坐标系中.己知点H (4, OX B (一6, 0点C是y箱上的一个动点.当ZBCA =43。时，点C的坐标为 .11,如图9, RtaBC中，ZC=90, XC=3, BC=4,点D在血边上，点E是BC边上一点(不与点以C重合)，且DA=DE,则3的取值范匡是 12如图10,在平面直角坐标系的第一象很内有一魚B,坐标为 w) 过点作AByfe9 BC丄x辭，垂足分别为儿C,若点P在线段肋上滑动(点P可以与点/、重合)，发现使得Z0PC=45-的位置有两个，则加的取直范圈为 13.左锐坤肋C中9AB=49BC=5f ZACB=45Qf将肋C绕点B按逆时针方甸贡转得到
6、A0C. (1如图11-1,当点C：在线段C4的延长线上时，求ZCC凶的度数；(2如图1卜2,连接心“ CC若如l的面积为4,求(?：的面枳富 (3如图1卜3,点E为线段肋中点，点P是线段AC1.的动点，在3C绕点3技逆时针方向 旋转过程中，点P的对应点是点P：,求线段P：长度的最犬值与最小值.? 314 如刃，抛物线歹=一；分一：工十3与x帕交于人B两点（点4在点B的左侧，与y轻交于点C. （1）求点A. B的坐标；（2）若直线/过点E（4, 0）, M为直线/上的动点，当以*、B、M为顶点所作的直角三角形 有且只有三个时，求直线/的解析式.15.5QS,直线j=-|x+3与x轴、轴分别交于
7、B、4两点，点P是线段OB上的一动点，若能在斜边肋上找到一点G 使ZOCP=90,设点P的坐标为 g 0）,求加的取值范囲例 1【解ab=ac=ad9:B, C, Z）在以.4为21心,AB为半径的圆上, :乙CAD=2 厶CBD.厶BAC=2/BDC、: ZCBD=2ZBDC, ZBAC=449 , ZCAD=2ZB&C=8丁 .故答案为：88- 例2【解答】解：如图所示：由题亘根克直角三角形斜边上的中线尊于斜边的一半，得出P到刃点 距凄始终为1.则木棒EF的中点P左运动过程中的轨迹为分别以乂，B, C, D为回心，15!为半径的弧， 故所围成的图形的面积为：矩形面积-4个型形面积= 6-4
8、x驾;=0一才（心）.故答案为：6-穴例3【解苔】解：连按CO9 A/O,VZCPO=ZCW=90,AC, M O9 P9四点共Eh且CO为直径（E为圆心九连按PM 则PM为0E的一条弦，当为直経时PM最大.所以 PM=CO=4时PJ/最大.即PJ=4例4【解答】解：（1）以肋为访，在第一象頃内作尊边三角形肋C, 以点C为圆心，SC为半径作0G 交y抽于点Pi.在优弧 APiB 上任取一点 P,如GE1,则ZAPB=丄Z-4CS=lx609 =30* 2 2便Z加=30的点P有无歎个.畝答案为，无数.（2）当点P在*的正半粕上时， 过点C作QG丄A3,垂足为G如03 1.点4（L 0）,点 B
9、 （5, 0）, .*.04=1, OB=5.:.AB=4.点 C 为国1 心.CGI AB. :.AG=BG=AB=2.2：.OG=OAAG=3.ABC是等边三角形MC=BC=肋=4.cg=VaC2-AG2=V42-22=2a-点C的坐标为/3.VPb P：0C 与）轴的交点，:ZAPiB=ZAP：B=30.CP尸CA=A, CD=39 ADP2=J42.32=V7.由smZ如违得：当血点 C 为圆心，CQ丄PiPh :.PiD=PiD=/7.:p、（o, 2V3 西.Pi（0, 2V3W7）.当点P在y轴的负半轴上时，同渥可得：P3（0, 23 听 Pa （0, -2VW7）.综上所述：满
10、足条件的点P的坐标有：（0, 23 衙人（0, 2、/5十听入（0,2/3听.（0, 2岳听.（3）当过点X. 的0E与p紬相切于点P时，ZAPB最大. 理由：可证：/APB=ZAEH,当Z加最大时，ZAEH最犬.屡小即M最小时.厶最大所以当图与艳相切时，Z加最大当点P在轴的正半轴上时.连按E4,作EH丄x轻，垂足为H.如图2V0与j；轴相切于点P,:PE丄OP:EH丄肋.OP丄OH, ： ZEPO= ZPOH= ZEHO=9y . 囚边形 OPEH 是矩形.:OP=EH, PE=OH=3:.EA=3. VZEHA=909 , AH=2瓦4=3.A/=VeA2-AH2=V32-22=5AOP=
11、V5 :P（0, V5）.当点p在紿的负半轴上时， 同淫可得:P （0, - V5）.渥由，若点P在結的正半轴上.左）轴的正半轴上任取一点（不与点P重合， 连按A纽沏，交OE于点N.连按NA,如區2所示.V ZANB 是MMV 的外角， ANB ZAB.厶APB=ZANB, :厶APB 厶ASiB若点P在轴的负半轴上，间理可证得：ZAPBZAXfB塚上所述：当点P在J轴上移动时.厶APB有绘大值， 此时点P的坐标为（0, V5）和（0, - V5）.【巩固训练】答案1解:vF-2点G为EF的中点DG“,G是以D为圆心.以1为半径的21弧上的点，作虫关于BC的对称点4,连按AD9交BC于P,交以
12、D为E1心.1为半径的圆于G,此时PAtPG的值最小，最小值为才G的长I AB 2 9 AD - 3 9 AA9 4 ArD 5 9:.MG才 D-DG5-】4：/. PA * PG的最小值为4：故答案为4.2解：如国所示点在以E为圆心以为半径的图上运动，当B E关线时时.此时FD的 值*小.根据折直的性质，SEBF釜4EBE . Eff 丄 BfF ,:EB = EB,E是M边的中点，肋=4,:.AE = EB = 2 9 AD = 6 ,:.DE = j6=，=2 顶，.BR = 2顶-2.3解：C在以4为E1心，以2为半径作K1周上，只有当0C与314相切（即到C点）时，ABOC绘 小A
13、C29 0A3f由勾股定理得：0C-V5 ,7 ZBOA = XACO = 90, Z50C +厶OC-90S ZC.4O +厶OC90S ABOC = AOAC ,tan ZBOC = tan Z.OACoc Vs= IAC 2随着C的移动，OC越来越大，c在第一象限，:C不到汇轴爲 即级C.taOC耳,故答案为,752 4解,如图所示,当PE/AB.左RtlABC中，v ZC -90, FC6, BC8由期折的性质可知：PFFC2, Z.FPE - ZC - 906. : PEHAB /. ZPDB - 90.由垂线段最短可知此时有最小值. 又朋为定值，:PD有最小值.又厶ZACBADF
14、9 :.MFD5MBC.PD DF-FP3 22L25解，以川为圆心，/1B长为半包作HI,延长BA交64于F,连按DF.FB 是0/的直径，DB = 9Q 二BD = dBF、-DF=屈6.【解答】解：法一：9：AB=AC=AD9:.zadb=abd9 zacb=zabc9 zadc=zacd,ZA4C=25,ZCAD=159 ,:ZACB= C180* - 25* )2=77.5* , ZDAB= ZDAC+ZCAB=g ,ZADC= ZACD= (180s 75 ) 4-2=52.5* ,A ZADB= C180* 100，)十2=40* ,:ZBDC=ZADC /ADB=525。 40
15、 =12.5 ,ZDCB= ZDCA+ZACB=525 +77.5 * =130,A ZZ3C= 1803 ZDCB ZBDC=8L - 130s - 12.5 =37.59 DC=25,ZDBC=3.7.【解答】解：连BCf ACf BD, AD, AEf BEf己知儿B. D E四点共圆，同弧所对的圆亶角相等，mZADB=ZAEB9然后KI同孤对应的 “31内危“大于13周理圆外角“小于01周角，因而射门点在皿上时介最九 射门点在D点 右上方或点E左下方时角度则会更小.故选，C.8【解签】锌，连结OP, OQ9 OR,如05,TA是P0的中点:OR丄P0：OP=OQ, ZPOR=ZQQR,
16、TPS丄肋.ZPSO=ZPRO=9Q,点P、S. 6 R四点在以OP为直径的a,:ZPSR=ZPOR,同理可得ZQTR=ZQOR, :乙PSR= ZQTR. :. ZRST= ZRTS9 而ZSRT=609 ,:.HRST为等边三角形.ZRST=60 ZRTS=609 9: ZRPO= ZRSO=6W , ZRQO=ZRTO=6W，:M)PQ 为等边三箱形，:PQ=OP. :.AB=2PQ9 匹=丄故答案为丄.AB 2 29解析：本超主更考査三点共01判定和相交弦定理.由刃=PB, PB=2乙ACB,可知，A, B, C三点芜固，E)心为P半径为PB由梅交弦定理 可知* AD DC= (PBP
17、D) (PB-PD)=710【解答】解，设线段B4的中点为ET点戏(4. 0人 B 6. 0), :.AB=1Q. E ( 1. 0).（1）如答图1所示，过点E在第二象刀作EP丄04且刃=丄43=5,则易知“PBd为垂素直2角三角形Z朋4=90 , PA=PB= 5/2；以点P为引心，PA （或P5）长为半径作G）P,与y牠的正半璀文于点C,V ZBCA为。P的E1局走，ZBC4=丄Z8刃=45,即则点C即为所求2过点P作PF丄丁雜于点F, OF=PE=5, PF=1,在 RtAPFC 中，PF=1, PC= &/2,由勾股定瑾得：CF=7pc2TpP=7:.OC=OF+CF= 5+7=12
18、,点C坐标为（0, 12）：C2）如答B32所示，在第3至踐可以參觅（1）作同样探作，同理求得）扮负半轴上的虑O坐 标为（0,12）.综上所述，点C坐标为（0, 12）或（0,12）.故答案为* （0. 12或（612.11【解答】7RIA4BC 中，NC=90,AC=3, BC=4,A=ac2+bc2=5,以Z）为El心,AD的长为半径甄0D如图1,当OD与万Ctfl切时，DE丄BC时，设 AD=x9 则 DE= AD=x9 BD=AB AD=5 心: ZBED=ZC=9Q,ZB 是公共角，BDEs朋 型史匕 9 解險 x=-iAB AC 5 3 8如图2.当OD与0C相交时.若文点为B或C
19、,贝UD=:s 丄 A41=4. SCBCX =-:4(3)如图1,过点作3D丄XC, D为垂足, :WBC为锐矩三角形点D在线段AC9 在 RtASCD 申.5D=5CXsin45t =当卩在AC 1.运动.3P与/C垂直的时候.AABC绕点B媒捷，使点P的对圧点P】在线段肋 上时.EPi聂小,最小值为：EPi=BPBE=BDBE=当P在XC上运动至点C, HABC绕点B贯转，便点P的灯应点Pi在线段AB的延上銭上时. EPl最大,最大值为* EP产BCBE=2+5 = 1.KI14.解答】韬(1)令y=0,即上孑上 3=0,8 4解得口=4, x2=2,、3 点的坐标为/! -4, OX
20、B (2, 0).(2)抛物线y= 丄/x+3的对称粧是直线k= =1,8 4 2X(峙)即D点的横坐标杲 1,S土 cb=45QC=9,2在Rtd4OC 中，C=0A2f0C2=42+32=5, 设C刀中ACl上的高为儿 则有C讪=9,解得*=垒2 5如答罔1,在坐标平面内作直线平行于2C,且到AC的距蔑=力=，这样的直线有2条，分 别是h和h，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D设h交紬于E,过C作CF丄h于尸，贝iJCF=/i=丄3,28 CE= -X=9s_sinZCEF *sinZXA 一兀r设直线/c的解析式为y=Eb,将/ (4, 0), C J-), D2(1.互.4
21、4(3如答图2,以/方为直径作O氏05心为E过点作0F的切线，这样的切线有2条. 连接FM过M作kN丄x轴于点N.0), B (2, 0),:.F ( - 1, 0), 0F 半径 FM=FB=3 又 TE (4, 0),:FE=5,在 RtAMEF 中，述=餉刁孑=4, sinZ.WF=l, cosNMFE= 5 5在 Rt用MV中，AV=NFsinZME=3x2=I5 5=-cosZ.WF5=3xA=2,则 av=l,5 5 5M点坐标为(歿)5 5直线/过 M (土 丄Z). E (4, 0),5 5设直线/的解折式为y=kxb,则有一 4,b=3所以直线/的解析式为y= 令+3詼Z乎,和卜24k+b=0同岂可以求得另一条切线的解析式为3 4综上所述，直线/的解析式为少=鸟+3或=丄34 415. 方法提示】令y=O求出点B的坐标过点C作CD丄x箱于D.设点C的横坐标为a.则ODn, PD=m-a,求出AOCD和MPD相似，刘用相似三角形对应边成比例列式表示岀m.然右求 出m的最小值：再根据点P在线段OB上判断出OC丄AB时.点P、B盍合，m圮大然方即可写 tBm的取值范團m的取值范围是3SmS4
