1、 0v）y=O - %J.v=O - 斜边:I = cos（90 + cc） = since = cosc sill cccr v + cos crvx, = 0sill OCT + cosco, = 0y解得： A = B = 0yC = D = -cot2 cto = pgxcotcz 2pgy cot2 a b、, = -pgy. rxy = -pgycota3.如果 妙/平面调和函数，它满足v2/=o ,问x（p,y（p,x2 + y2）（p是否可作为应力函解鄴。将 叭=x 代入相容条件，得：严（毛+卑）（“）=2穿+双考+考）=2字dx2 內 2 Qx 去 2 Sy2 3xV2V2
2、= V2（2-） = 2 （V24- y2） + V2（y2?7）. 人 Qcp . 6（p=4+ 4jc+ 4ydx SyV2V23 = V2（4由此可解得：q。c_丽2 q也6（7）（8）纟。I纟。/ fLOlh 3 忙，应力分量为彳晋P（2,2 _乂2 +厂=加（3胪）（9）=需（心2）（3+h220.5如图所示，右端固定悬臂梁，长为1,高为h,在左端面上受分布力作用 P） o不计体力，试求梁的应力分量。（其合力为d4xy 所用凑和幕次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数 对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、卞边界面上多出了一个大小为-id4h2的剪应力，
3、为了抵消它，在应力円打函数上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数勺厂cp = d + hxy由平衡条件得含有待定系数的应力表达式为:6 二 Cp二- “ of 二=二 M = S 3乙利用边界条件确定，并求出应力分量: 上、下边界：，=号（bv） = O3 y = 2左端部：0=0 = O,解得:b23P2h2Ph12Pb严一亍-by = 0,3P 6P= + 2h h3图386试考察应力函数=在图3-8所示的矩形 板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）？【解答】相容条件：不论系数a取何值，应力函数=。）卩总能满足 应力函数表示的相容方程，式（2-25）.求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公
4、式（2-24）,得6 = 6,b,.=0,y = 考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；当a0时，考察q分布情况，注意到txy = 0 ,故y向无面力左端:=（6）口 = 6 （OVyJ） Z.=（.） = 右端工=（q）g=6 （0y“）7v = （rj=O应力分布如图所示，当/?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为 主矢，主矩4主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：因为在A点的应力为零。设板宽为b,集中荷载p的偏心距e：（也牴一佩“A 同理可知，当d0时，可以解决偏心压缩问题。7.试考察应力函数=二巩3斥-4才），
5、能满足相容方程，并求出应力分211量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出 面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（225）04+ 2夕* 苕 + dx2dy2 +（2）将代入式（224），得应力分量表达式nFxy/?（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力:1在主要边界上（上下边界）上，y = |,应精确满足应力边界条件式 （2d），应力（碍）十厂0，亿 0因此，在主要边界y = -上，无任何面力，即卜=另=0玮=另=02在的次要边界上，面力分别为:因此，各边界上的面力分布如图所示:3在兀二0, 的次要边界上，面
6、力可写成主矢、主矩形式:x=0上 x=l上,hQ洞主矢：F叫=匸上dy = O, 向主矢：Fs= Jydy = F, 主矩:M产：ydy = O,因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如 图：（a） （b）因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。设有矩形截面的长竖柱，密度为p,在一边侧面上受均布 。剪力？（图3-10）,试求应力分量。 T【解答】釆用半逆法求解。图310由材料力学解答假设应力分量的函数形式。（1）假定应力分量的函数形式。根据材料力学，弯曲应力5主要与截面的弯矩有关，剪应力。主要与截面的剪力有关，而挤压应力6主要与横向荷载有关，本题横向荷
7、载为零，则（2）推求应力函数的形式将6 = 0,体力fx=Q,f、=pg,代入公式（2-24）有对y积分，得=W（M + Z（x） 其中都是兀的待定函数。（3）由相容方程求解应力函数。将（b）式代入相容方程（2-25）,得 停*常“ （c）ax ax在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程 要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都 必须为零，即d【O_0 丫 （x）dx4 ， dx两个方程要求/（x） = Ar3 + Bx2 + Cx, （x） = Dx5 + Ex2 （d）/（x）中的常数项，Z（x）中的常数项和一次项己被略去，因为这三项
8、在 的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b） 式，得应力函数O=y（Ax3 + Bx2 + C）+（DA-3 + x2） （e）（4）由应力函数求应力分量O碍=盲咚。dy2 x（f）fx.y = 6Axy + 2 By + 6Dx +2E- pgy（g）6 rJ =一 = -3Ax2-2Bx-C （t厂 dxdy （5）考察边界条件利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、Eo主要边界x = 0 （左）：（bj JO,（I=o = O将（f） , （h）代入（bJz = 0,自然满足（rn-）.v=0 = -C = 0 （D主要边界x = bf（G）z = 0,自然
9、满足（G）z = q，将5）式代入，得（rxy）x=h=-3Ab2-2Bb-C = q （J）在次要边界），=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：Jo由式（i） , （j），代入公式（g）,J： Cx = （6Dx+2E）dx = 3Db2 + 2Eb = 0 （q.）、=oxdx = （6Dx+2E）xdx = 2Db + Eb2 = 0 J： （）、=% = J：（3 A? - 2Bx-C）dx = -Ab5-Bb2-Cb = Q（k） , （1） , （m）联立求得4 = -2, B = C = D = E = 0Zr b（h）得应力分量（k）（1）（m）2qx（ x=r3
10、Kj-r.=lx9设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁 的密度为Q,试用纯三次式的应力函数求解。【解答】采用半逆解法求解（1）检验应力函数是否满足相容方程（2-25）设应力函数=Ax3 + Bx2y + Cxy2 + Dy3,不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）（2）由式（2-24）求应力分量由体力分量 = OJ, = pg,将应力函数代入公式（2-24）得应力分量:少-fxx = 2Cx+6Dy-fyy = 6Ax+2By-pgy（b）= - = -2Bx-2Cy dxdy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。对于主要边界y = 0,其
11、应力边界条件为:（,）、=o = 0 （rvx）v=0 = 0 （C将式（d）代入式（b） , （c）,可得A = 0, B=0 （e）对于主要边界y = xtana （斜面上）,应力边界条件：在斜面上没有面力作用，即Z = 7v=o,该斜面外法线方向余弦为, / = -sina，m = cos a .由公式（2-15）,得应力边界条件=0- sin q （b Jgg + cos a （rvx） v=rtana一 +C0SQ（bJ,=ga = 将式（a）、（b）、（c） . （e）代入式（f）,可解得C = cota,D = -cofa将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c）,得应力分
12、量表达式:= pgx cot tz - 2pgy cot2 a7/2边界上，O、=p2gX,所以可假设在区域内6为by = xf （y） o2.推求应力函数的形式。由s推测的形式,图3-6dxxf （y），=令于（y） + H（y） + 43由相容方程求应力函数。将0代入=（）,得要使上式在任意的x处都成立，必须得 f 二 Ay+5 + Cy + D;A R得 f = - y5 - -yA + Gyz + Hy2 + Iy 10 64 = 0, 得 f.=琢 + Fydy代入0,即得应力函数的解答，其中己略去了与应力无关的一次式。4.由应力函数求应力分量，将代入式（2-24）,注意体力fx=p
13、ig, /=0，求得应力 分量为V 3 （65k + 2尸）-pgx、訂 _ fyyOf 罗dxdypy3 + By2 + Cy +9 _ 亠fxx = x3 Ay + - + x （-2加-2By? + 6矽 + 2H）+= （3加 + 2By + C）+f yl + y3 - 3Gy2 - 2Hy - I 12 3 - 丿5.考虑边界条件：在主要边界）=b/2上，有 方3 方4 b 、= -P护、得 X A- B- + C- D = -p2gx- C） /（ l3 力2 人 （xy3 + Ex + Fxy。（2） 求应力分量，在无体力下，得b.二 TOBxy + 205xy3 + Dxy、
14、 crr = -lOfey3 + 6Cxy + EEx,rxy = - （-15fe2y2 + 5时 + 3必2 + 3妒 + 尸）。（3） 考虑主要边界条件（曲2，y = h2,j. = 0,得，3C - y 劭+ 善朋 + 扌仍$ + 尸= 对于任意的X值，上式均应满足，由此得G）UO仍3 - 4+y =力/2 , q = 0, * 扌戲3 + 3伪 + 6可=0, （c）x （5 、 xy = _力/2 , cr” = 了，* | g 刼-3Ch + 6E = _q ）。（d） 由（c）+（d）得12；由（c）-（d）得C）由（e） -（a）得（4）考虑小边界上的边界条件（x=O）,由B
15、 + D + Fh = -坐。16 4 6由式（b）和解出D = q M 10丿p _ h 1 _ 4h）另两个积分的边界条件,显然是满足的。于是，将各系数代入应力表达式，得应力解答: C o o c er = 2q xyr - 3n + 乙 一 h2 h2 10X（T = _q 7 2112旷 力 厂 + h lh 201 lh读者试校核在心1的小边界上，卜列条件都是满足的。JX（uL0 = = 0，m）/ = -V15.矩形截面的柱体受到顶部的集中力血尸和力矩M的作 用。图3-9,不计体力，试用应力函数二府 + Bxy + Cxy3 + Dy3求解其应力分量。（1） 代入相容方程，“吐。，满足。y, = A + Cxy + &Dy、（7=0,rxy = - （万 + 3）。（3）考察边界条件。在主要边界（）= , 6, = 0,满足; 乙在次要边界x=0,4 b”2丿-b/2=一F、得再由（a）,（b）式解出
