1、定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. 如图，若,则,或. 定理2 平行切割定理 如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若,则 定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若，则 ,定理4（角平分线性质定理） 如图，分别是的内角平分线与外角平分线，则.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， 定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。在中，直径，定理8
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。在中，是切线，是割线 定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。在中，、是割线【例题精讲】 二例题讲解1 利用相似证明角相等例1 如图，中，,是边的中点，垂足为,交于点. （1） 求证：（2） 若,求的面积.练习 在中，于点，于点，于点，求证：.2 利用相似证明线段相等例2 已知点分别在矩形的边上，分别交于点，求证：练习 1、如图，梯形中，对角线交于点，过点作的平行线分别交于点，求证.2、如图，中，于，分别是的中点，于，求证:3 证明比例（等积）
3、线段例3 如图，为的两条角平分线，过点作直线分别交于点，若，求证： 例4 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与及的延长线分别交于点和，求证：练习1、如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点.求证:2、是的高线，过作的垂线，垂足为，与及的延长线分别相交于，3、是的角平分线，求证：4 求线段比例5 是正方形，是的中点，联接交于，求.练习 1、梯形中，,对角线于点，若，求的值. 2、如图，在平行四边形中，过点的直线顺次与及的延长线相交于点,若求的长.5 证明线段（线段比）和差例6 如图，已知分别是和的中点，过的直线依次交于点.求证:练习 如图，是内一点，分别与对边交于点，
4、 6 证明垂直 例7 如图，分别是正方形的边上的点，且，过作的垂线，垂足分别为，求证：. 练习题1、如图，中，是边上的高，是边上一点，过点作的垂线，垂足分别为，求证：2、与均为等边三角形，和的中点均为，求证：7 证明平行例8 如图，在矩形中，是边上的点，满足，又是上的点，满足与相交于点，与相交于练习题 如图，两个等边顶点重合，过点作的平行线，分别交于. （1）求证：平分. （2） 求证：.8 利用相似三角形的面积比 例9 在的内部取点，过点作3条分别与的三边平行的直线，这样所得的3个三角形的面积分别为4,9,49，求的面积.练习 1、是斜边上的高，求证： 2、梯形中,点在上，且,若直线平分梯形
5、的面积，（1）求的长，（2）求的值 1、已知平行四边形中，为的三等分点，分别交于两点，求的值.2、如图，在平行四边形中，为的中点，交于点，求证：3、 如图，是的中线，是上一点，分别交于点，求证:4、中，是边的中点，交于点，交于点，求证：5、在四边形中，分别是的中点，为对角线延长线上任意一点，交于点，交于点，交于点.求证：是线段的中点. 6、锐角三角形中，,分别是上的高，与的延长线交于点，过作的垂线交于，过作的垂线交于，证明：三点共线.7、如图，在等边中，边上取点，使，作，垂足为，联接，求证：圆中的相似三角形1、 AB是O的直径，点C在O上，BAC60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延
6、长线交于点Q，连结OC，过点C作CDOC交PQ于点D（1）求证：CDQ是等腰三角形；（2）如果CDQCOB，求BPPO的值2、 ABC内接于圆O，BAC的平分线交O于D点，交O的切线BE于F，连结BD，CD （1）BD平分CBE；（2）ABBFAFDC3、 O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D求证：BC2DE4、 O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EFFG5. 如图，O是ABC的外接圆，BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E.ADEC = ACBD证明：6. 如图，CD切O于P，PE
7、AB于E，ACCD，BDCD. PE：AC = PB：PA； PE 2 = AC7. 已知： ，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作O，过E作O的切线ET，T为切点.ET = ED8如图，AB是O直径，EDAB于D，交O于G，EA交O于C，CB交ED于F，求证：DG2DEDF9如图，弦EF直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MAMCMBMDABCPEDHFO10、如图，AB、AC分别是O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P（1）若PC=PF，求证：ABED
8、；（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DEDF，为什么？11.如图（1），AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径，则有结论：AB AC=AE AD成立，请证明.如果把图（1）中的ABC变为钝角，其它条件不变，如图（2），则上述结论是否仍然成立？ 图（1） 图（2）12.如图，AD是ABC的角平分线，延长AD交ABC的外接圆O于点E，过点C、D、E三点的O1与AC的延长线交于点F，连结EF、DF.AEFFED；（2）若AD=8，DE=4，求EF的长.13.如图，PC与O交于B，点A在O上，且PCA=BAP.PA是O的切线.（2）ABP和CAP相似吗？为什么？（3）若PB:BC=2
9、:3，且PC=20，求PA的长.14（本小题满分7分）已知：如图， AD是O的弦，OBAD于点E，交O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3（1）求证：AB是O的切线；（2）点F是ACD上的一点，当AOF=2B时，求AF的长15如图，ABC内接于O，且BC是O的直径，ADBC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB6，AC8，求CD，DE，及EF的长。16 已知：如图，在中，以为直径的交于点，点是的中点，连结OD，OB、DE交于点F是的切线；（2）求EF：FD的值G17如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点；（2）求证：（3）若，且的半径长为，求和的长度14杭州龙文教育科技有限公司 湖墅校区 ：谭前富（13173637360）
