1、AED=ADEADBC CED=ADECED=AEDDFE=C=90 CED=AED（已证） DE=DE（公共边）DFEDCE（AAS）DF=DC例3、如图4所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CFDE，垂足为F. （1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论. 解： AB平行DC AED=EDC CFDE DFC=DAE 又DE=AB且AB=DC DE=DC AED=EDC DAE=DFC DE=DC AED全等于FCD AD=CF例4、如图6，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于 （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形
2、是菱形？证明你的结论1、证明：矩形ABCDOAOC，ABCDEF，EBOFDOBOEDOF （AAS）2、EFAC时，四边形AECF为菱形BOEDOFOEOF又OAOC平行四边形AECFEFAC菱形AECF （对角线互相垂直平分的四边形是菱形）例5、在矩形ABCD中，AB=2，AD=（1）在边CD上找一点E，使EB平分AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F 求证：点B平分线段AF； PAE能否由PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由（1）AEB=BEC=ABEAEB=ABEAB=AE=2DE
3、=1（勾股定理计算）DE=EC=1E 是DC 的中点（2）ECPFBPEC/BF=PC/PB=1/2BF=2点B平分线段AF由（1）知AEDBECABE 是等边三角形在PEC 中tanPEC=3/3PEC=30=FAEF 是直角三角形AF=2AE=2AB3、三角形与正方形联手例6、如图8所示，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时
4、针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断 （2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb （ab，k0），第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（08年义乌市）（3）在第（2）题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值（1）BGDE，BG=DE；四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC=DC，CG=CE，BCD=ECG=90，BCG=DCE，BCGDCE，BG=DE，CBG=CDE，又CBG+BHC=90CDE+DHG
5、=90BGDE（2）AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，BC/DC CG/CE =b/a ，又BCG=DCE，BCGDCE，CBG=CDE，（3）连接BE、DG根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，BGDE，BCD=ECG=90BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25例7、如图9-甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图9-乙，线段CF、BD之间
6、的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图9-丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若AC，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值（1）CF与BD位置关系是 垂直、数量关系是相等；当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=90BAC=90，DAF=BAC ， DAB=FAC，又AB=AC ，DABFAC ， CF=BD AC
7、F=ABD， AB=AC ，ABC=45，ACF=45BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD（2）画图正确当BCA=45时，CFBD（如图丁） 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD（3）当具备BCA=45时，过点A作AQBC交BC的延长线于点Q，（如图戊）DE与CF交于点P时， 此时点D位于线段CQ上，BCA=45，可求出AQ= CQ=4设CD=x ， DQ=4x，容易说明AQDDCP， ， ， 0x3 当x=2时，CP有最大值1 4三角形与梯形联手例8、已知：如图11，梯形中，点是的中点，的延
8、长线与的延长线相交于点（1）求证： 和全等（2）连结，判断四边形的形状，并证明你的结论ADBCCFEBAE，FCEABEE是BC的中点BECEABEFCE （AAS）ABCF2、菱形ABFCADBC，ABCF平行四边形ABFCADC沿AE折叠至AEC，D90AECD90AFBC菱形ABFC例9、如图12，在等腰梯形中，是的中点，求证：（1）证明：四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，A=DM是AD的中点，AM=DM在ABM和DCM中， ABDC AD AMDM ABMDCM（SAS）MB=MC例10、 如图13所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC与BD相交于点O请在图中找出
9、一对全等的三角形，并加以证明 ABCD是等腰梯形 AB=DC ABC=DCB BC是公共边 ABCDCB（SAS）还有ABDDCA（SAS） ADBC ABC=DCB BAD=CDA AD是公共边 且AB=DC ABDDCA（SAS）例11、已知：如图14，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E。求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE（1）BFCDFC因为CF平分BCD， 所以：DCFBCF又：BCDC，公共边CFCF所以BFCDFC（两边夹一角，边角边定理）（2） 延长DF交BC于H;因ADBC，DFAB，所以四边形ABHD是平行四边形 ADBH因BFCDFC 所以DFBFFDEFBH 又DFEBFH所以：DFEBFH 所以DEBH（全等三角行的对应边和角相等）又ADBH;所以：ADDE
