1、 （6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 （7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。 （8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。 （9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。二 专题整合与拔高专题一特殊四边形的综合应用1、（2013白银）如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出AFE=DCE，然后
2、利用“角角边”证明AEF和DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知ADB=90，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC解答：解：（1）BD=CD理由如下：AFBC，AFE=DCE，E是AD的中点，AE=DE，在AEF和DEC中，AEFDEC（AAS），AF=CD，AF=BD，BD=CD；（2）当ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形AFBD，AF=BD，四边形AFBD是平行四边形，AB=AC，BD=CD，ADB=90，A
3、FBD是矩形点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键2、（13年山东青岛、21）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：ABMDCM（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB=_时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）解析：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，AD90，ABDC，又MAMD，所以，ABMDCM（2）四边形MENF是菱形；理由：因为CEEM，CNNB，所以，FNMB，同理可得：ENM
4、C，所以，四边形MENF为平行四边形，又ABMDCM（3）2：13.（2012珠海，18，7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），AB交AD于点E，连结AA、CE.求证：（1）ADA CDE；（2）直线CE是线段AA的垂直平分线.【解析】（1）由题设可得ADDC, ADACDE90, DADE.ADACDE.（2）证CE是ACA的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA的垂直平分线.【答案】（1）由正方形的性质及旋转,得ADDC,ADC=90,ACAC,DAE45,ADACDE90DEADAE
5、45. DADE.（2）由正方形的性质及旋转,得CDCB, CBECDE90,CECE,RtCBERtCDE.ACAC,直线CE是线段AA的垂直平分线.【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”, 线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.专题二构造特殊四边形解决问题1.如图，RtABC中，C=90，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为7正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有计算题；压轴题过O作OF垂直于BC，再
6、过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出AOM与BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OFMF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长解法一：如图1所示，过O
7、作OFBC，过A作AMOF，四边形ABDE为正方形，AOB=90，OA=OB，AOM+BOF=90又AMO=90，AOM+OAM=90BOF=OAM，在AOM和BOF中，AOMBOF（AAS），AM=OF，OM=FB，又ACB=AMF=CFM=90四边形ACFM为矩形，AM=CF，AC=MF=5，OF=CF，OCF为等腰直角三角形，OC=6，根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，FB=OM=OFFM=65=1，则BC=CF+BF=6+1=7故答案为：7解法二：如图2所示，过点O作OMCA，交CA的延长线于点M；过点O作ONBC于点N易证OMAONB，OM=ON，MA=N
8、BO点在ACB的平分线上，OCM为等腰直角三角形CM=ON=6MA=CMAC=65=1，BC=CN+NB=6+1=72、（2013聊城）如图，四边形ABCD中，A=BCD=90，BC=CD，CEAD，垂足为E，求证：AE=CE矩形的判定与性质过点B作BFCE于F，根据同角的余角相等求出BCF=D，再利用“角角边”证明BCF和CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，证明：如图，过点B作BFCE于F，CEAD，D+DCE=90BCD=90BCF+DCE=90BCF=D，在BCF和CDE中，BCFCDE（AAS），B
9、F=CE，又A=90，CEAD，BFCE，四边形AEFB是矩形，AE=BF，AE=CE本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键专题三特殊四边形中的动态与变换1、（2013内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=5轴对称-最短路线问题；菱形的性质作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交B
10、D于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，四边形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，MQBD，ACMQ，M为BC中点，Q为AB中点，N为CD中点，四边形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四边形BQNC是平行四边形，NQ=BC，CO=AC=3，BO=BD=4，在RtBOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，5本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置2.（2014襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB
11、，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等边三角形其中正确的是（）ABCD翻折变换（折叠问题）；矩形的性质求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30，然后求出AEP=60，再根据翻折的性质求出BEF=60，根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出正确；利用30角的正切值求出PF=PE，判断出错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判
12、断出错误；求出PBF=PFB=60，然后得到PBF是等边三角形，判断出正确AE=AB，BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，APE=30AEP=9030=60BEF=（180AEP）=（18060）=60EFB=90=30EF=2BE，故正确；BE=PE，EF=2PE，EFPF，PF2PE，故错误；由翻折可知EFPB，EBQ=EFB=30BE=2EQ，EF=2BE，FQ=3EQ，故错误；由翻折的性质，EFB=BFP=30BFP=30+30PBF=90EBQ=90PBF=PFB=60PBF是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是故选D本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30角所对的直角边
13、等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键3. （2014扬州，第23题，10分）如图，已知RtABC中，ABC=90，先把ABC绕点B顺时针旋转90至DBE后，再把ABC沿射线平移至FEG，DF、FG相交于点H（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形（第5题图）旋转的性质；正方形的判定；平移的性质（1）根据旋转和平移可得DEB=ACB，GFE=A，再根据ABC=90可得A+ACB=90，进而得到DEB+GFE=90，从而得到DE、FG的位置关系是垂直；（2）根据旋转和平移找出对应线段
14、和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形（1）解：FGED理由如下：ABC绕点B顺时针旋转90至DBE后，DEB=ACB，把ABC沿射线平移至FEG，GFE=A，ABC=90A+ACB=90DEB+GFE=90FHE=90FGED；（2）证明：根据旋转和平移可得GEF=90，CBE=90，CGEB，CB=BE，CGEB，BCG+CBE=90BCG=90四边形BCGE是矩形，CB=BE，四边形CBEG是正方形此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等4.（2012河南省）1
15、8.（9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN。四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为_时，四边形AMDN是矩形； 当AM的值为_时，四边形AMDN是菱形。ECDMBNA第18题专题四方法与技巧数形结合1如图（1）所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N.MDMN.（2）若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图（2）所示，则结论“MDMN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立
16、，请说明理由2如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，AEP=90，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，AE=EP；（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由平行四边形的判定菁优网版权所有（1）由正方形的性质可得：B=C=90，由同角的余角相等，可证得：BAE=CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到AKE=ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合KAE=CEP，证明AKEECP，于是结论得出；（3）作DMAE于AB交
17、于点M，连接ME、DP，易得出DMEP，由已知条件证明ADMBAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出（1）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，B=90，BK=BE，BKE=45，AKE=135CP平分外角，DCP=45，ECP=135，AKE=ECP，AB=CB，BK=BE，ABBK=BCBE，即：AK=EC，由第一问得KAE=CEP，在AKE和ECP中，AKEECP（ASA），AE=EP；（2）答：存在作DMAE交AB于点M，则有：DMEP，连接ME、DP，在ADM与BAE中，ADMBAE（ASA），MD=AE，AE=EP，MD=EP，MDEP，四边形DMEP为平
18、行四边形此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择分类讨论1.（2014孝感，第9题3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90，则旋转后点D的对应点D的坐标是（）（2，10）（2，0）（2，10）或（2，0）（10，2）或（2，0）坐标与图形变化-旋转分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可点D（5，3）在边AB上，BC=5，BD=53=2，若顺时针旋转，则点D在x轴上，OD=2，所以，D（2，0），
19、若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D（2，10），综上所述，点D的坐标为（2，10）或（2，0）故选C本题考查了坐标与图形变化旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论2.（2011河南省）22. （10分）如图，在RtABC中，B=90，BC=5，C=30.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF.AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相
20、应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.类比、从特殊到一般思想1、（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AFBEAF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MPNQMP与NQ是否相等？（1）根据正方形的性质可得AB=AD，BAE=D=90，再根据同角的余角相等求出ABE=DAF，然后利用“角边角”证明ABE和DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点A作AFMP交CD于F，过点B作BENQ交AD于E，然后与（1）相同在正方形ABCD中，AB=AD，B
21、AE=D=90DAF+BAF=90AFBE，ABE+BAF=90ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF（ASA），AF=BE；（2）解：MP与NQ相等如图，过点A作AFMP交CD于F，过点B作BENQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用2、（2013绥化）已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当
22、点D在线段BC上时求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC求OC的长度四边形综合题（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明BADCAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得BADCAF，从而证得BD=CF，即可得到CFCD=BC；（3）首先证明BADCAF，F
23、CD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得（1）BAC=90ACB=ABC=45AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90BAD=90DAC，CAF=90DAC，BAD=CAF，则在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），BD=CF，BD+CD=BC，CF+CD=BC；（2）CFCD=BC；（3）CDCF=BCBAC=90BAF，CAF=90BAF，在BAD和CAF中，ACF=ABD，ABC=45ABD=135ACF=ABD=135FCD=90FCD是直角三角形正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点ODF=AD=4，O为DF中点OC=DF=2本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键3、（2011牡丹江中考）已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想方程思想1如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD
