1、【例5】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，【答案】连接垂直平分，即，又，平分，又，又，【巩固】如上图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，平分【答案】连接，垂直平分，又，即平分【例6】 已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：【解析】，又，即，考点二 与旋转有关的相似问题【例7】 如图，直角梯形中，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已知，则的值为（ ）A B C D 【答案】C【例8】 如图，四边形和均为正方形，求_.【答案】连接。，【例9】 （1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：（2）如图2，将（1）中的等边改
2、为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：是否有？证明你的结论【答案】（1）由，得，故（2）由，得，故考点三 与三角形有关的相似综合题【例10】 如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积分别为，则的面积是_【解析】设的面积为，则，故【例11】 如图所示，是一个凸六边形，、分别是直线与、与、 与的交点，、分别是与、与、与的交点，如果，求证：【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、集中到一起构成一个与相似的三角形如图所示，将平移至位置，则，且，所以，且，因此，从而，且这说明，且
3、，进而，且又因为，于是，所以，注意到，故【例12】 已知：的高所在直线与高所在直线相交于点（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；（2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_；（3）在（2）的条件下，若，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长（1）证明：，（2）（3）如图，由（2）知，为等腰直角三角形分别过，作于点 于点四边形为矩形， ，考点四 与相似有关的动点问题【例13】 如图，中，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过
4、多少时间与相似？【答案】，设，即，解得（负值已舍去）设经过后与相似此时本题需分两种情况：（1）当时，即，解得（2）当时，即，解得综上，当秒或秒时，与相似【例14】 如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间（1）当为何值时，为等腰直角三角形？（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似（1）当为等腰直角三角形时，（2），即四边形的面积为定值（3）分2种情况当时，即，解得 当时，即，解得综上当或时，以点为顶点的三角形与相似【例1】 如图，已知在等腰ABC中，AB30，过点C
5、作CDAC交AB于点D若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似，若存在，则DP的长为_BACDOP1P2（09年浙江丽江中考试题）【解析】BCDACBACD1209030BCDB，DBDC又在RtACD中，DCADsin30，DB过点D作DP1OC，交BC于点P1，则P1DBCOB，OBODDBDP1OC过点D作DP2AB，交BC于点P2，则BDP2BCO，BC3DP21【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQx轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN连接A
6、N并延长交x轴于点B，连接ON设OQt，BMN与MON相似时，则BMN的面积为_MQPNyxH图2（09年甘肃中考试题）【答案】或【解析】当0 t 1时，如图1若BMNMON，则即，tNM，BMSBMN BMNM当1 t 2时，如图2若BMNMON，则即，tNM，BMSBMN BM【例3】 如图，ACB90，CD是ACB的平分线，点P在CD上，CP将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G（1）当点F在射线CA上时求证：PFPE设CFx，EGy，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域（2）连接EF，当C
7、EF与EGP相似时，求EG的长备用图FGE（12年中考模拟试题）【解析】（1）证明：过点P作PMAC，PNBC，垂足分别为M、NCD是ACB的平分线，PMPN21由PMCMCNCNP90，得MPN901FPN902FPN90，12PMFPNE，PFPE解：CP，CNCM1CFx，PMFPNE，NEMF1xCE2xCFPN， ，即 CG y 2x（0 x1）（2）当CEF与EGP相似时，点F的位置有两种情况：当点F在射线CA上时GPEFCE90，1PEGG1，FGFE，CGCECP在RtEGP中，EG2CP2534当点F在AC延长线上时，12，32145+5，145+2，52易证34，可得54C
8、FCP，FM1易证PMFPNE，ENFM1GN1EG1 12【例4】 如图，在RtABC中，ACB90，CE是斜边AB上的中线，AB10，tanA 点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQCB，交CB延长线于点Q设EPx，BQy（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）连接PB，当PB平分CPQ时，求PE的长；（3）过点B作BFAB交PQ于F，当BEF和QBF相似时，求x的值（2012年上海模拟试题）（1）在RtABC中，ACB90，AB10，tanA AC6，BC8CE是斜边AB上的中线，CEBE AB5PCQABC又PQCACB90，PCQABC ，即 y x4（x 5）（2）过点B作B
9、HPC于HPB平分CPQ，BQPQ，BHBQyBH BC ， x4 x11（3）BQFACB90，QBFABFQABC当BEF和QBF相似时，则BEF和ABC也相似有两种情况：当BEFA时在RtEBF中，EBF90，BE5，BF y（ x4） 5，解得x10当BEFABC时5，解得x 当BEF和QBF相似时，求x的值为10或 【例5】 如图1，在RtAOC中，AOOC，点B在OC边上，OB6，BC12，ABOC90，动点M和N分别在线段AB和AC边上（1）求证：AOBCOA，并求cosC的值；（2）当AM4时，AMN与ABC相似，求AMN与ABC的面积之比；（3）如图2，当MNBC时，以MN所
10、在直线为对称轴将AMN作轴对称变换得EMN设MNx，EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围图1（1）AOOC，ABOBAO90ABOC90，BAOCAOBCOA，AOBCOAOB : OAOA : OCOB6，BC12，6 : 18OA6AC12cosC （2）cosC ，C30tanABO ，ABO60BAC30，ABBC12当AMNABC时（如图1），AMNABCAM4，SAMN : SABC AM 2 : AB 24 2 : 12 21 : 9当AMNC时（如图2），AMNACB AC 24 2 :（12）21 : 27（3）易得SAB
11、C BCOA 12636MN/BC，AMNABCSAMN : SABC MN 2 : BC 2，SAMN : 36x 2 : 12 2SAMN x 2图3当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）MN/BC，ANMC30ANMBAC，AMMNx以MN所在直线为对称轴将AMN作轴对称变换得EMNENMANM30，AFN90MF MN AM xSFMN : SAMN MF : AMy : x 2 x : x1 : 2图4y x 2（0x 8）当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）MN/BC，CN : ACBM : ABCN : 12（12x ）: 12，CN12 xC
12、NGCBA，SCNG : SABC CN 2 : BC 2SCNG : 36（12 x ）2 :SCNG （12 x ）2S阴影SABC SAMN SCNG 36 x 2 （12 x ）2即y x 218x72（8x 12）【例6】 如图，ABC中，ABC90，ABBC4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），ADAB，垂足为点A连接MO，将BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N（1）当CMF120 时，求BM的长；（2）设BMx，y ，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；（3）连接NO，与AC边交于点E，当FMCA
13、EO时，求BM的长B1（1）CMF120 ，BMN60 BMO30RtMOB中，BMOBcot302 （2）连接ON，OAOBOB1，ONONRtANORtB1NO，AONB1ON，ANB1N又MOB1MOB，MON90OB1MB90，MB1OOB1N，（F）OB12B1MB1N又B1MBMx，OB1OB22 2xB1N，B1N ，AN ADAB，DAB90又B90，ADBC，CMFANFy x 2x即y x 2x（0x 4）（3）由题意知：EAOC45若FMCAEO，则有两种情况：FMCAEO或FMCAOE当FMCAEO时，有CFMAOE由（2）知AOEB1OEOMFCFMOMF，OMACO
14、MBC45cot452当FMCAOE时，AOEOMFFMCOMFOMB60MOB中，BMOBcot60 综上所述，当FMCAEO时，求BM的长为2或 【例7】 在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A（t，0）是x轴上一动点，M是线段AC的中点把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E（1）若t3，则点B的坐标为_，若t3，则点B的坐标为_；（2）若t 0，当t为何值时，BCD的面积等于6 ？（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由（201
15、2年江苏模拟试题）（1）（5，），（1， ）（2）当0t 8时，如图1CAB90，CAOBAE90CAOACO90，BAEACO又BEAAOC90，BEAAOC ，即 AE2，BE t，B（t2， t）SBCD CDBD （ t2）（ 4 t ）6解得t2或t4当t 8时，如图2SBCD CDBD （ t2）（ t4 ）6解得t10或t4（舍去）当t2或t4或t10时，BCD的面积等于6（3）当0t 8时，如图1若CDBAOC，则 即 ，t无实数解若BDCAOC，同理，解得t2 2（舍去）或t2 2即 ，解得t4 8（舍去）或t4 8若BDCAOC，同理，t无实数解当2t 0时，如图3即 ，t
16、4 8或t4 8（舍去）当t 2时，如图4CDBAOC，则 若BDCAOC，同理，解得t4或t4（舍去）存在t2 2或4 8或4 8或4，使得以B、C、D为顶点的三角形与AOC相似【例8】 如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（2，0），B（0，）两点，将RtAOB绕原点O逆时针旋转得到RtAOB（1）求直线l的解析式；（2）若OAAB，垂足为D，求点D的坐标；lBA（3）如图2，若将RtAOB绕原点O逆时针旋转90，AB 与直线l相交于点F，点E为x轴上一动点试探究：是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和ABB 相似若存在，请求出点E的坐标；（2012年山西中考试题）
17、（1）设直线l的解析式为ykxb点A（2，0），B（0，）在直线l上 解得：直线l的解析式为y x （2）A（2，0），B（0，），OA2，OBAB 5OAAB即ODAB， OAOB ABOD2 5OD，OD2过点D作DHx轴于点H（如图1）则DAHADHODHADH90DAHODH在RtAOB中，tanBAO tanODH ，DH2OH在RtODH中，设OHa，则DH2aOH 2DH 2OD 2，a 24a 22 2a 0，a ，OH ，DH 点D的坐标为（ ，）（3）存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和ABB 相似理由：AOB 由AOB逆时针旋转90所得AOBAOB，BAOBAO又
18、FBAOBA，BFABOA ，即 ，BF1，AFABBF6如图2，当AFEABB 时，有 ，AE6，OEAEAO624E1（4，0）如图3，当AEFABB 时，有 ，AE ，OEAOAE2 E2（，0）综上所述，存在点E1（4，0），E2（，0），使得以点A，E，F为顶点的三角形和ABB 相似课后作业1. 如图1，甲、乙两人分别从AB两点同时出发，点O为坐标原点，点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，OMNOBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 （2012年连云港市中考第26题）（1）当MN都在O右侧时，所以因此MN与AB不平行（2）如图2，当MN都在O右侧时，OMNB，不可能OMNOBA如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA如图4，当MN都在O左侧时，如果OMNOBA，那么所以解得t2图2 图3 图4（3）如图2，
