1、（2）AB/DE，BC/EF例5如图，在D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：（1）；（2）BD平分 （角平分线的相关证明及性质）【巩固练习】1下面给出四个结论：若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 2如图，且AB和CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（ ）A、的面积相等 B、的周长相等C、 D、AD/BC且AD=BC第3题图 3如图，A和B 以及C和D分别是对应点，如果，则的度数为（ ）A
2、、 B、 C、 D、 4如图，AD=8，BE=2，则AE等于（ ）第6题图 A、6 B、5 C、4 D、3第5题图第4题图5如图，要使，则下列条件能满足的是（ ） A、AC=BC，AD=CE，BD=BE B、AD=BD，AC=CE，BE=BD C、DC=EC，AC=BC，BE=AD D、AD=BE，AC=DC，BC=EC6如图，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB= ， ，AE= ，CE= ，AB/ ，若，则DF与BC的关系是 第9题题图第7题图 7如图，若 ， ， 第8题图8如图，若AB=AC，BE=CD，AE=AD，则 ，所以 ， ， 9如图，则下列说法错误的是（ ） A、 B、C、
3、 D、10如图，求的度数及BC的长11如图，在中，AC=BD，AD=BC，求证：全等三角形（一）作业 1如图，AC=7cm，AB=5cm.，则AD的长是（ ） A、7cm B、5cm C、8cm D、无法确定2如图，点B、C、E在同一直线上，则的度数为（ ） A、 B、 C、 D、3如图，AF=2cm,CF=5cm，则AD= 4如图，求的度数5如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：AB/CD6如图，已知AB=EF，BC=DE，AD=CF，求证：AB/EF7如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：4全等三角形（二）定义：SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
4、，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示如图，在和中， 【例1】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.12【例2】 如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE的度数.O【例4】 如图，B，C，D在同一条直线上，ABC，ADE是等边三角形，CE=AC+DC； ECD=60.【例5】如图，已知ABC、BDE均为等边三角形。BDCD=AD。 1在ABC和中，若AB=，AC=，还要加一个角的条件，使ABC，那么你加的条件是（ ） AA= B.B= C.C= D
5、.A= 2下列各组条件中，能判断ABCDEF的是（ ） AAB=DE，BC=EF；CA=CD B.CA=CD；C=F；AC=EF CCA=CD；B=E D.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等 3阅读理解题： 如图：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD. 那么AOD与BOC全等吗？请说明理由.ABC与BAD全等吗？请说明理由.OA=OBOD=OC 小明的解答： AODBOCB 而BAD=AOD+ADBABC=BOC+AOB 所以ABCBAD （1）你认为小明的解答有无错误；（2）如有错误给出正确解答；4如图，点C是AB中点，CDBE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。 5如
6、图，AE是AB=AC（1）若D是AE上任意一点，则ABDACD，说明理由.（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？6如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由全等三角形（二）作业1如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：。2如图，ABC，BDF为等腰直角三角形。（1）CF=AD；（2）CEAD。3如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。BF=FC。4已知：如图1，ADBC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：DEBF。QP5. 如图，已知ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，（1）BE=DC，（2）BE
7、DC.6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB/DE，且AB=DE，求证：（1）ABCDEF （2）CBF=FEC7、 已知:如图,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE.求证:BD=CE8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF10、已知C为AB上一点,ACN和 BCM是正三角形.求证：（1）AM=BNNM （2）求AFN大小
8、。11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FBEB，AF交CE于G，求AGC的度数.12、 如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.3全等三角形（三）ASAASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等如图，在与中ASA公理推论
9、（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【例1】下列条件不可推得和全等的条件是（ ）A、 AB=AB，B、 AB= AB，AC=AC，BC=CC、 AB= AB，AC=AC，D、 AB= AB，【例2】已知如图，求证：BC=EF【例3】如图，AB=AC，求证：AD=AE【例4】已知如图，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之【例5】如图，AC=AE，求证：DE=BC【例6】如图，AC，BD相交于O，AB=CD OA=OD1如图，AB/CD，AF/DE，BE=CF，求证：AB=CD2如图，AD/BC，O为AC中点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，求证：AM=
10、CN3求证：两个全等三角形ABC与ABC的角平分线AD、AD相等4如图，AB，CD相交于O，E，F分别在AD，BC上，若，求证：5如图，AB/CD，AD/BC，求证：6已知，如图AB=DB，求证：AC=DE全等三角形（三）作业1已知，如图，求证：AB=DE2如图，已知，求证：BE=CD3已知如图，AB=AD，求证：AC=AE4已知如图，在中，AD平分，求证：5已知如图，求BD的长（要求写出完整的过程）6、如图中，BC，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,DEF=B ED=EF7、 （1）如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理
11、由 （2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？G（图）8、已知：如图 , AD为CE的垂直平分线 , EFBC.求证：EDNCDNEMN9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：OBDOCE10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F求证：OE=OF11、如图在ABC和DBC中 , 1=2 , 3=4 , P是BC上任意一点求证：PA=PD.12、已知 ：如图 ,
12、 四边形 ABCD中 , ADBC , F是AB的中点 , DF交CB延长线 于E , CE=CDADE=EDC13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O ,求证：1=2全等三角形（四）强化训练1、如图，是等边三角形，点、分别是线段、上的点，（1）若，问是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论2、如图所示，已知1=2，EFAD于P，交BC延长线于M，求证：2M=（ACB-B）3、ABC中，A=90，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DEDF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由4、
13、已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点（1）求证：；（2）求证：5、 如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。过A作AFBC于F，过D作DGBC于G，则DG=AF=1/2BC=1/2BD，在RtBDG中，DG=1/2BD =DBC=30 =BDC=BCD=1/2（180-30）=75，即EDC=75DEC=DBC+BCA=30+45
14、=75 EDC=DEC =CD=CE8、RtABC，AB=AC,BM是中线，ADBM交BC于D，求证：AMB=CMD。9、如图，已知ABC是等边三角形，BDC120，说明AD=BD+CD的理由。如图，点D在ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是ACB、AED的平分线，且B=30，D=40，求F的度数。 11、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。CM=CN 易证BCDACE 所以DBC=EAC再证BCNACM （ASA） CM=CN12、操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，
15、以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明13、如图等边ABC和等边CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60，PK交直线CD于K。（1） 试探索AP、PK之间的数量关系；（2） 当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉及相似三角形）若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点. 如图，在锐角外侧作等边连结。过的费马点，且=.15、如图,是等腰直角三角形,C900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD2BM, 点E在射线NA上,且NE2NA.求证:BDDE.第五章 全
16、等三角形 拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例1：已知AE既是BAC的平分线，也是BDC的平分线，试说明AB=AC思路：AB在ABD中，AC在ACD中，要说明AB=AC，尝试说明ABD与ACD全等。1 观察图形发现两个三角形存在公共边AD2 题目所给条件可以得到两组角相等，3 再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等4 再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC例2：在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE
17、是过点A的直线，BDAE，CEAE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长度。抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证ABDACE。 练习1. 小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢? _我们只需要说明 _解：练习2 在ABC中，ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。图3图2图1
