1、让学生在学与练的过程中去体味奇妙的数学、学习和领略奥妙的数学；从而提高学习数学的兴趣、勤奋地去开垦数学。本文试图从“利用轴对称性质求最小值”问题入手，在挖掘课本教育资源、注重多题一解、培养学生知识迁移能力方面作一些尝试与探索，与数学同行们交流，抛砖引玉。（一）、课本原型：（七年级下册第196页）如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？解：如图（2），只要画出A点关于直线L的对称点C，连结BC交直线L于P，则P点就是所求。这时PA+PB=PC+PB为最小，（因为两点之间线段最短）。（证明：如图（2），在L上任取一点P1
2、，连结P1A，P1B，P1C，因为P1A+P1B=P1C+P1BBC=PA+PB。这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。）（二）应用和延伸：例1、（七年级作业本题）如图（3），AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使PMN的周长最小。如图（4），只要画出P点关于OB、OA的对称点P1，P2 ，连结P1、P2交OB、OA于M、N，此时PMN的周长PM+PN+MN=P1P2为最小。（证明略）例2、在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。如图（1）所示，只要过A1点
3、画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在RtA1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为4千米。即PA+PB的最小值为4千米。图（1） （三）、迁移和拓展：例1、9（温州2003年中考题）如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（ ）（A） 6a , （B） 5a , （C） 4a , （D） 2a 。如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，P
4、C+PE=CE1=2a 。所以选（D）。例2、（2001年全国数学竞赛题）如图（7），在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=。图（7）图（8）如图（8），只要画出点Q关于X轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交X于点M，则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（Y=2X-5），令Y=0，求得X=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。例3、求函数Y= +的最小值。方法（）、把原函数转化为Y= + ，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3，
5、1）和（-3，5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（），如图（9），分别以PM=（3-X）、AM=1为边和以PN=（X+3）、BN=5为边构建使（3-X）和（X+3）在同一直线上的两个直角PAM、PNB，两条斜边的长就是PA= 和PB= ，因此，求Y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是Y的最小值。（6）。（四）、思考与练习：1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10），AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则PQR的周长最小值是 。（提示：画点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2， AOB=450，
6、P1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10）。又问当PQR周长最小时，QPR的度数= 。（1000）。 2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。这个最小值是 。（同例2）3、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。要使BM+MN的值最小，应设法把折线BM+MN拉直，从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1NAB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为16。初
7、三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。4、（希望杯2001初二数学邀请赛试题），如图（12）在菱形ABCD中，DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是 。（因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是）。5、（美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（提示：画点A关于小河岸的对称点A1，连结A1B即为最短距离。（A） 4+英里 （B） 16英里 （C） 17英里 （D） 18英里
8、6、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。（与知识拓展例1类似，因为点C和点A关于直线BD对称，所以AE是PC+PE的最小值，这个值为）。 7、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线是（先画图，再用字母表示）。，同知识迁移题）8、（温州2001年中考题）如图（16），AB是O的直径，AB=2，OC是O的半径，OCAB，点D在AC（）上,AD（）=2CD（），点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是 。（只要找出点D关于半径OC的对称点D1，AD1的长就是AP+PD的最小值。因为ABD1是含有趣300角的直角三角形，所以这个值是）。9、求代数式 + 的最小值。（）10、（2000年湖北省选拔赛试题）在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时，的值为- 。（因为A、B是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。画点A关于X轴的对称点A1，点B关于Y轴的对称点B1，只要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C和点D 的坐标。） （浙江、海盐、西塘中学 杨孝华 ） 2004、11、155
