1、D在AB的垂直平分线上. 分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D在AB的垂直平分线上,只需证明即可. 证明:,(已知), (的两个锐角互余)又BD平分(已知) . (等角对等边)D在AB的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).例2如图,已知:在中,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。由于,可得,又因为EF垂直平分AB,连结AF,可得. 要证,只需证,即证就可以了. 连结AF,EF垂直平分AB(已知)(线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等)(等边对等角)(已知), 又(已知),(三角形内角和定理) (直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的一半)
2、说明:线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题. 例3如图,已知:AD平分,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连结AF。与不在同一个三角形中,又,所在的两个三角形不全等,所以欲证,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD,可得,因此,又因为,而,所以可证明. EF垂直平分AD(已知),(线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等). (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),又(角平分线定义),运用线段的垂直平分线的定理或逆定理,能使问题简化,如本例题中,EF垂直平分AD,可以直接有结论,不必再去证明两个三角形全等. 例4如图,已知直线和点A,点B,在直线上求作一点P,使. 假设P点已经作出,则由,那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知,点P在线段AB的垂直平分线上. 而点P又在直线上,则点P应是AB的垂直平分线与垂线的交点。作法:1连结AB. 2作线段AB的垂直平分线,交直线于点P. 则P即为所求的点. 在求作一个点时,要考虑该点具备什么样的特点,如它到一条线段的两个端点距离相等,它就在连结这两点的线段的垂直平分线上,如果它到一个角的两边的距离相等,它就在这个角的平分线上.