1、地官保氏“六曰九数”，注：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。”贾公彦疏：“九数者方田已下皆依九章筭术而言。严复救亡决论：“其中相地设险，遮扼钩联，又必非不知地不知商功者所得与也。”我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征结合立体几何中的基础知识设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养。（3）祖暅原理：祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题，是中国南北朝时代的伟大科学家祖暅在5世纪末提出的体积计算的原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于
2、这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理。（4）堑堵、阳马、鳖鳖臑 ：见于九章算术“商功”章，为了推证除直线型柱体以外其它直线型立体的体积，在前人的基础上，刘徽提出三种基本几何体，即“堑堵”、“阳马”、“鳖鳖臑 ”。“堑堵”即是底为直角三角形的直棱柱，如商功章第14问刘徽注称：“邪解立方得两堑堵。虽复椭方，亦为堑堵”。“阳马”即是底为正方形或长方形一侧棱与底垂直的四棱锥，如商功章第15问刘徽注称：“阳马之形，方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马”。“鳖臑”即是侧面都是直角三角形的四面体，如商功章第
3、15问刘徽注称：邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”。例1九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛（1丈10尺，1尺10寸，斛为容积单位，1斛1.62立方尺，3）， 则圆柱底面圆周长约为（） A1丈3尺 B5丈4尺 C9丈2尺 D48丈6尺思路点拨：根据圆柱的体积公式，结合题中圆柱的体积和高以及有关单位的数据计算出圆柱的底面半径，再根据圆的周长公式，计算出圆柱底面圆周长解题分析：设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为Vr2h20001.623r213.33，所以r281，即r9，所以圆柱底面圆周长为2r54,54尺5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺，正
4、确答案：B.总结反思：本题属于生活中谷物储存问题，源于九章算术第五章“商功”，我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征结合立体几何中的基础知识设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养例2（2018泉州高三3月月考）惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千 多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，如图1（1）粗实虚线 画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋 期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体牟合方盖（如图1），牟合方盖的体积Vd2（其中d为最大截面圆的直径）若三视图中网格纸上 小正方形
5、的边长为1，则该石雕构件的体积为（ ）（1）（2）A125 B C143 D161思路点拨:观察题目所给三视图及直观图，结合“长对正、高平齐、宽相等” 理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，并由体积公式来求出答案由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，其中正方体棱长为5，圆柱体的为3，高为5，两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖，该石雕构件的体积为V535233143C本题取材于“牟合方盖”，“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程 例3.祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之
6、的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型设某双曲线型冷却塔是曲线1（a0，b0）与直线x0，y0和yb所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得，如图3所示试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为_图3 根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为a、高为b的圆柱的体积。设点A（x0，y0），则B，所以圆环面积为x.因为1，所以xa2，所以圆环的面积为a2.所
7、以冷却塔的体积为：a2ba2ba2B与立体几何有关的最值问题主要包括距离、面积与体积等，解答此类最值问题的关键在于准确把握几何体的结构特征，转化相关的最值问题，一般来说主要有两种思路：一是几何法，即根据几何体的结构特征直接判断最值；二是代数法，即通过设置相关的参数，建立目标函数，转化为函数的最值进行求解.例4.（2015高考全国卷）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体
8、积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ） A14斛B22斛 C36斛 D66斛 用求圆锥的体积来计算米堆的容积设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为V525（立方尺）故堆放的米约有1.6222（斛）选B.本例以九章算术为背景，相应考查圆锥的体积公式.既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化，引导考生提高人文素养、传承民族精神，树立民族自信心和自豪感. 三课后检测：1.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，他在5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相
9、等，那么这两个几何体的体积相等图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（） A B C D2.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A.4 B.8 C.8 D.823.（2017新乡三模）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，
10、问：积几何？“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（）A.5 000立方尺 B.5 500立方尺C.6 000立方尺 D.6 500立方尺4.（甘肃省会宁2018届月考）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现我们来重温这个伟大发现圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）A，1 B，1 C ， D，5
11、.（2013年文科试卷第16题）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸6.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计） 7【凌源市2
12、018届12月联考】我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 8.【2015高考湖北理19】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 （）证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
13、出结论）；若不是，说明理由；（）若面与面所成二面角的大小为，求的值1.D; 2.C;3.A ;4.C;5. ; 6.;7.B;8.（解法1）（）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以. 而，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 而，所以.又，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. 设，有，在RtPDB中, 由, 得, 来源:学科网ZXXK则 , 解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. （解法2）（）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，则，点是的中点，来源:Zxxk.Com所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 则, 所以.即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. 11/11
