1、【解析】 将59长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到 【例 2】 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【解析】 如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始但路线上1白1黑1白1黑直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍 【巩固】有一次车展共66=36个展室，如右图，
2、每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【解析】 如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室 【例 3】 在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？ 2 中可以回到小屋，守园人只能黑白
3、相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数图（1）【解析】 下.在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，无法直接回到而黑树与小木屋不相邻，, ,当走到80棵树应是黑色图（2）不行,从小屋出发. 小木屋 请问：. 右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的【例 4】 这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋马【解析】 因为马走“日”字，每步只 . 个和23个盘各交点处相间标上和，图中共有22，要跳偶数步；能从跳到，或由跳到，所以马从某点
4、跳到同色的点（指或）跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上. 共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘如果马的出发点不是在点上而是在点上，但是如果放弃最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的. 上的每个点，跳遍半张棋盘上除起点以外. 从某点出发，那么情况就不一样了“回到出发点”的要求，因是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）. 44点，要跳44步，44的其它当不要求也就说是，个，所以起点必是，终点也是. 22为44步跳过的点与点各. 回到出发点时，只要从出发，就可以不重复
5、地走遍半张棋盘上的所有点 个由相邻两方格组成. 试问能不能剪裁成714【例 5】 右图是由个大小相同的方格组成的图形 的长方形？相邻两个方格必然. 8个黑格，6个白格，有将【解析】 这14个小方格黑白相间染色（见右下图）个，与实际情14个格应当是黑、白各77是一黑一白，如果能剪裁成个小长方形，那么. 7个由相邻两个方格组成的长方形况不符，所以不能剪裁成 20个相同的长方形？个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成右图是由【巩固】 40 3 【解析】 将40个小正方形想剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个12的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑白格数不等，而12的小矩形
6、一次覆盖黑白格各一个. 【巩固】 下面的三个图形都是从44的正方形纸片上剪去两个11的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成12的七个小矩形. 【解析】 如右上图，（1）能，黑白格数相等；（2）（3）不能，黑白格数不等，而1个能否盖住88的大正方形? 【例 6】 用115个和正方形黑白相问染色后，发现必然盖住2白2黑，58【解析】 如右图，对8个则盖住 黑则盖住了3白1黑或310白10黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格但实际染色后共32个 个黑格，故不可能
7、按题目要求盖住注：本题中每个盖3白1白格32黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白.这是一个容易犯错的地方. 个所示的卡片拼成一个66的棋盘？【巩固】 能否用9 【解析】 不能. 将66的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格. 每张卡片盖住的黑格数不是1就是3，9张卡片盖住的黑格数之和是奇数，不可能盖住18个黑格. 【巩固】 9个14的长方形不能拼成一个66的正方形，请你说明理由！ 4 正方形用四种颜色染色，因为6. 我们对6【解析】 本题若用传统的自然染色法，不能说明问题分别代表四种颜色也为了使每个4、3、4来覆
8、盖为了方便起见，这里用1、2要用1长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图这样，可以发41，6要不重叠地拼出6、3、4各一个现无论将14长方形放于何处，盖住的必然是1、2个10l、9个但实际上图中一共是9个44长方形，则必然盖住1、2、3、各需9个1 6正方形4长方形拼出68、个4，因而不可能用9个12、9个3 11的大正方形，请你说明理由！的小正方形不能拼成一个1122和33【巩固】 用若干个必定盖住偶数个阴的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，33右图所示，将22或【解析】 如的小正方形，不可能拼33个，是奇数，所以只用22和影方格，而阴影方格共有77. 的大正方形11成1
9、1 ，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次1）7】 对于表（【例 2）？减去或加上的数可以不同），变为表（等所以表中九个数码的总和经过变化后， 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，【解析】原来九个数的总和因此总和的奇偶性没有改变。2倍，于原来的总和加上或减去那个数的，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和1+2+9=45为. 4矛盾。所以不可能变成右上表是 模块二、操作问题 开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上 . 【例8】90的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着然后转动圆盘，每次可以转动0.着
10、问：经过若干次后，黑.黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上 ？板上的四个数是否可能都是999 5 的10，所以黑板上的四个数之和永远是234=10【解析】 不可能.因为每次加上的数之和是 1 999.10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是整数倍. 9994=3996，不是 份应该怎样分？个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5有7个苹果要平均分给12【例 9】 11374然每人应该分 显【解析】 +43121212 3个苹果，每个苹果4等分于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿 他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了. 有一位老人，他有三个儿子和十七匹马【例 10】”老人去世后，
11、三兄弟看到了遗.遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分11，给幼子长子得，次子得嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子. 321 你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！.不许流血，不许杀马. 9除以这三个兄弟迷惑不解，尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17【解析】 .，又不让马流血.于是他们就去请教当地一位公认的智者除以3、用17除以92、用17”老人原有这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！111，分别于是三兄弟按照、18匹马的和17匹马，加上智者借给的一匹，一共18匹. 932 . 得到了九匹、六匹和两匹.9+6+
12、2=17（匹）.还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者 1111, ，应如何分？. 甲、乙、丙、丁分别得【巩固】 甲、乙、丙、丁分29头羊 10625 .头羊，再将借得1头羊还回去5一头羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，3【解析】 借 你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?有一个比真金币轻的假金币， 11】 8个金币中，【例次能把它找出来1个假的比较轻，你称1 讲解此题前，教师可先问学生：“3个金币，有【解析】23进行称量，如果重量相同，称剩下的，3组，把3和么？”将8个金币分成：3+3+2个，剩下个金币拿出，用天平称量2个金币即可找到假币；如果重量不同，将比较重的3. 个，天平不平衡易
13、得答案，若此时天平平衡则剩下的那个是假的1 ?个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）【巩固】 9个中有一个是假如果不平衡，那么较轻的一侧的3一次在左右两托盘各放置第3个：（一）【解析】 的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的从中任取两个二）平衡，剩下的一个是假的；（分别放在两托盘内：如果平衡，剩下的那个并尽量是每一类对应天平称量时的不同一定要会分类，是假的这类称量找假币的问题， ，所以分成3堆是很常见的分法）状态（轻，重，平 这两个人有一只容量韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发
14、愁.说有一天， 12【例 】据斤油，葫芦可斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装107 6 装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤. 但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？【解析】 韩信给两人说了一句话：“葫芦归篓，篓归罐”，两人按此分油，果然把油分成了两半.具体做法如下表： 韩信的话指明了倒油的方向，始终按从篓向罐中倒，从罐向葫芦中倒，从葫芦向篓中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫芦归罐，罐归篓”怎样?我们试试. 看来也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要. 如果在倒油的过程中，出现从甲倒向乙，又从乙倒回甲（这两步不一定挨着）
15、，那么这两步相互抵消，肯定可以简化掉，所以最佳的倒油方法是始终按一个方向倒. 【巩固】 大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？【解析】 先将5千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有5-4=1（千克）油；然后将小桶倒空，将大桶中1千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6（千克）这道题要学会借助于大桶小桶容积的差量出想获得的中间量（1千克） 【巩固】 有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意. 一天，他遇到了两位农妇. 两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两
16、个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！【解析】 答案如表所示 【例 13】 有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水 【解析】 通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：1大瓶往中瓶中倒满水 2中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水 3小瓶中水倒回大瓶 7 4中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中
17、只剩下100克水，标记 5小瓶中水倒回大瓶 6中瓶中100水倒入小瓶，标记所以最少要倒6次水 本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的 【例 14】 老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线（只许拐三个弯儿）你能办到吗? 【解析】 大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有折线只能限定在这9个点的范围之内我们把折线的范围冲破本题9个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如上右图。【例 15】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被
18、污染了？【解析】 第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染. 【例 16】 如右图所示，将112顺次排成一圈. 如果报出一个数a（在112之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置. 例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置. 问：a是多少时，可以走到7的位置？【解析】 不存在.当1a6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7a12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置.由上面的分析知，
19、不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置. 【例 17】 对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？【解析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到 这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100.当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法.因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数. 100不是11的
20、倍数，所以不可能出现. 操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门. 8 课后练习 并且每到一个格点不是向左转就是向右沿格线奔跑，点出发，练习1. 一只电动老鼠从左下图的A次弯。如82转。当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了 果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？如右下图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少格.【解析】 甲到达任何一个黑点都转了奇数次弯，老鼠从黑点出发，点就转了多少次弯。如左下图所示， . 所以甲正确 经过若干次操作或同时减去1叫做一次操作.，对相邻的两格内的数同时加上练习2. 如图（1）1 2中A处的数是多少？后
21、由1变成图2，则图A=中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变.所以【解析】 按图中要求操作，图3 ）=5.-（1+1+1+1+1）（0+0+0+0 利用这三个桶最少倒.升水的桶各一个12升水，另外有恰好能装8升和53.练习 一个大桶装了 ?几次才能把这12升水平均分成两份 案如表所示【解析】 答52 ，应如何分？头牛，甲得练习4. 甲、乙分43，乙得95 .头，再将借来的2头牛还回去借2头牛，甲得18头，乙得25 【解析】 .张，共有3_种不同的撕法如右图有练习5. 6张电影票（），想撕成相连的 .种的有2 【解析】形如种，形如8的有 9 月测备选 棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐
22、地排列成七行七列（见、一个正方形果园里种有48测试1可以，最后又回到小屋. 右图）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走） 做到吗？守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵. 【解析】 不可以.如右下图所示. 棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋树是黑的，走到第48 图不重复地盖住它且不留、如右图，缺两格的88方格有62个格，能否用31个测试2?空隙来覆盖，则用黑白相间【解析】 这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一用染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑要不重复不留空白，那总共能盖个，故不可能住的黑格数、白格数应该相等但从染色后整个图看，黑格30个，白格32 将整个图不重不漏地盖住 111, 匹马，甲、乙、丙分别得 19，应如何分？测试3、524 4.，105，【解析】 借1匹马，甲、乙、丙分别得 ?2升的水呢、只有45升和8升的容器，要怎样量出测试 5升的水，再一次将8升的容器中装入了5升的容器中去，将【解析】 5升的容器装满水，倒在835升的水了，只能装入升的容器里，这次升的容器装满水，倒在88升的容器装不下. 2升的水了升的容器中就剩下升的水。而5 【解析】 10
