1、20:00&8：水流量18001900210022002300240025002600265027002720含沙量3260758590981001021081121151167.57.67.77.87.97.10200018501820175015001000900118120105805030262085注：以上数据主要是根据媒体公开报道的结果整理而成 现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题：（1）给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法;（2）确定排沙量与水流量的变化关系。关键词：拟合，SAS Matlab，线性回归，调水调沙实验问题分析：1、 对于问题一，所给数据中水流量 x和含
2、沙量h的乘积即为该时刻的排沙量 y即：y=hx。2、 对于问题二，研究排沙量与排水量的关系，从实验数据中可以看出，开始排沙量随水量增加而增加，而后随水流量的增加而减少，显然变化关系并非线性的关系， 为此， 把问题分为两部分， 从水流量增加到最大值为第一阶段， 从水流量最大值到结束为第二阶段， 分别来 研究水流量与排沙量之间的函数关系。模型假设：1 、水流量和排沙量都是连续的，不考虑上游泄洪所带来的含沙量和外界带来的含沙量。2、时间是连续变化的，所取时间点依次为 1,2,3，,24,单位时间为12h。模型的建立与求解：一对于问题一，因为排沙量与时间的散点图基本符合正态曲线，如图二所示。所以，排
3、沙量的对数与时间的函数关系就应该符合二次函数关系，因而排沙量取对数后，再与时间 t进行二次回归，排沙量取自然后的数据见表 2.假设排沙量与时间函数关系的数学模型是at A 2 bt cye两边取对数得Lny=atA2+bt+c先由表二做出排沙量的自然对数 Iny与时间t的散点图见图一，并利用 SAS软件进行拟合,得到排沙量的自然对数与时间的回归方程为：Lny=-0.0209tA2+0.4298t+10.6321由回归拟合参数表可知回归方程是显著的，因为相关系数人 RA2=0.9629,误差均方SA2=0.0543,说明回归曲线拟合效果很好。所以排沙量与时间之间的函数关系式为0.0209tA2
4、0.4289 t 10.6312lny与时问卫散点图及其回归方程曲线图二：排沙量对时间的曲线图2412*时间点/ 3 1x ,/ m gsh kggm 3y kggs1In y15760010.96128211400011.64395315750011.96718418700012.1388620700012.24047623520012.36819725000012.4292226520012.48824928620012.564451030240012.619511131240012.653321230740012.635911330680012.633951430000012.61154
5、1527140012.511351623100012.350171716000011.982931811100011.61729199100011.418645400010.89674214550010.72547223000010.308952380008.98719745008.411833最后对所求出的函数关系在区间0,24之间进行积分60 * 60 * e dt结果为总排沙量1.93962亿吨，此与媒体报道的排沙量几乎一样。二 对于第二个问题，两个阶段的数据如表三、表四所示表三：第一阶段试验数据序号xh表四：第二阶段的试验观测数据对于第一阶段，有表四用 MATLAB作图（如图三）可以看
6、出其变化趋势，我们用多项式做最小二乘拟合。设三次拟合函数关系 h=a0+a1x+a2xA2+a3xA3其中a0,a1,a2,a3,为待定系数。四次拟合函数关系 h= a0+a1x+a2xA2+a3xA3+a4xA4其中a0,a1,a2,a3,a4为待定系数。图三：第一阶段水流量与排沙量之间的关系图三次多项式拟合由 MATLAB拟合函数求解出 a0=a1=0,a2=0.0032,a3=-2.4929.则拟合函数h=0.0032xA2-2.4929xA3,拟合效果如图四所示图四：三次多项式拟合效果，红线为拟合曲线类似的四次多项式拟合由 MATLAB拟合函数求解出a0=a1=a2=0,a3=0.01
7、21,a4= -7.4347则拟合函数h=0.0121xA3-7.4347xA4,拟合效果如图五所示图五：四次多项式拟合效果，蓝线线为拟合曲线对于第二阶段，有表五用MATLAB作图可以看出其变化趋势，我们用多项式做最小二乘拟合。 设三次拟合函数关系 h=a0+a1x+a2xA2+a3xA3三次多项式拟合由 MATLAB拟合函数求解出 a0=a1=0,a2=-0.9475,a3= 464.9601.则拟合函数 h=-0.9475xA2+464.9601xA3,拟合效果如图图六所示图六：三次拟合函数拟合效果类似的四次多项式拟合由 MATLAB拟合函数求解出 a0=a仁0, a2=-0.0013，a
8、3= 1.1219a4=-354.5952则拟合函数h=-0.0013xA2+1.1219xA3-354.5952xA4,拟合效果如图七所示图七：四次拟合函数拟合效果结论以及分析检验：一用SAS软件做线性回归得到排沙量与时间的函数关系式为0.0209 t A 2 0.4289 t 10.6312再利用所求函数在区间 0,24上进行积分得到总排沙量 1.93962 亿吨，这与现实情况基本相符。二 对于第一阶段三次多项式拟合由 MATLAB拟合函数求解 a0=a1=0,a2=0.0032,a3=-2.4929则拟合函数 h=0.0032xA2-2.4929xA3对于第一阶段四次多项式拟合由 MAT
9、LAB拟合函数求解出 a0=a仁a2=0,a3=0.0121,a4= -7.4347则拟合函数 h=0.0121xA3-7.4347xA4对于第二阶段三次多项式拟合由 MATLAB拟合函数求解出 a0=a1=0,a2=-0.9475,a3= 464.9601则拟合函数 h=-0.9475xA2+464.9601xA3对于第二阶段四次多项式拟合由 MATLAB拟合函数求解出 a0=a仁0, a2=-0.0013，a3= 1.1219a4=-354.5952 则拟合函数 h=-0.0013xA2+1.1219xA3-354.5952xA4讨论与推广：1 、对于第一个问题排沙量与时间不是严格的正态函
10、数关系可能与实际有些偏差,此外还可以用SAS软件进行高次的多向式回归2、对于第二个问题，由于 MATLAB软件的计算可能有些偏差导致拟合的函数关系可能与实 际有稍微偏差,此外,还可以进行高次的拟合。附录：1、 排沙量与时间的关系图像的 MATLAB程序：t=1:1:24;y=57600,114000,157500,187000,207000,235200,250000,265200,2862000,2400,312800,3074 00,306800,300000,271400,231000,160000,111000,91000,54000,45500,30000,8000,4500; pl
11、ot（t,y,r）2、 对排沙量求自然对数的 MATLAB程序与结果：y3=log（y）y3 =Columns 1 through 1710.9613 11.6440 11.9672 12.1389 12.2405 12.3682 12.4292 12.488212.5644 12.6195 12.6533 12.6359 12.6340 12.6115 12.5113 12.350211.9829Columns 18 through 2411.6173 11.4186 10.8967 10.7255 10.3090 8.9872 8.41183、 第一阶段的排沙量与水流量之间的关系 MATL
12、AB程序：x=1800,1900,2100,2200,2300,2400,2500,2600,2650,2700,2720; h=32,60,75,85,90,98,100,102,108,112,115; x1=2650,2600,2500,2300,2200,2000,1850,1820,1800,1750,1500,1000,900; h1=116,118,120,118,105,80,60,50,40,32,20,8,5; plot（x,h,r:4、第一阶段三次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果： A1=polyfit（x,h,3） in polyfit at 80A1 =0.000
13、0 -0.0000 0.0032 -2.4929 z1=polyval（A1,x）;plot（x,h,k+,x,z1,5、第一阶段四次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果： A2=polyfit（x,h,4） In polyfit at 80A2 =-0.0000 0.0000 -0.0000 0.0121 -7.4347 z2=polyval（A2,x）;*,x,z2,6、第二阶段三次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果：A3=polyfit（x1,h1,3）A3 =-0.0000 0.0006 -0.9475 464.9601 z3=polyval（A3,x1）;,x1,z3,b7、第二阶段四次多项式拟合函数以及拟合效果程序与结果：A4=polyfit（x1,h1,4）A4 =-0.0000 0.0000 -0.0013 1.1219 -354.5952 z4=polyval（A4,x1）; plot（x1,h1,k*,x1,z4,参考文献：【1】启源，数学模型（第三版），高等教育【2】楼顺天 ,MATLAB 程序设计语言（第二版） ，电子科技大学【3】娜，在SAS中拟合ARCH/GARC模型
