1、 物理必修（2）训练5圆周运动中的临界问题 圆周运动中的临界问题求解策略圆周运动是一种特殊的也是较为简单的曲线运动，它可分为匀速圆周运动和变速圆周运动它们服从相同的力学规律，但又有着不同的运动特征，其临界问题也是错综复杂的一、圆周运动的特征与解题基本思路1.匀速圆周运动的动力学特征(1)始终受合外力作用，合外力提供向心力，其大小不变，始终指向圆心。（，）(2)匀速圆周运动的动力学方程：根据题意，可以选择相关的运动学量如v，T，f列出如下动力学方程：， ， .熟练掌握这些方程，会给解题带来方便2变速圆周运动的动力学特征(1)受合外力作用，但合力并不总是指向圆心，且合力的大小也是可以变化的（合外力
2、的法向分量提供向心力，切向分量改变速度的大小）。 (2)合外力的分力(在某些位置上也可以是合外力)提供向心力3解答圆周运动问题时的注意事项(1)明确圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径；(2)确定是匀速圆周运动还是变速圆周运动，以确定运用相应的物理规律；(3)正确进行受力分析，并进行相应的分解(一般是沿法向和切向进行正交分解)，再根据牛顿第二定律沿半径方向列出动力学方程；(4)注意圆周运动问题中的临界状态及临界条件的确定 二、圆周运动中的临界问题在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小(或最大)的速度，小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续作圆周运动了，此速度即为临界速度在这个位置，物体
3、的受力必满足特定的条件，这就是临界条件当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法1竖直平面内圆周运动临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型：（1）绳模型 （注意：绳对小球只能产生拉力）绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力T（圆轨道问题可归结为轻绳类，圆轨道问题中只能产生沿半径方向的支持力N），如下图NmgTmgO . 在最
4、高点时： (或：)小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用. 当时，质点可通过最高点；. 当时，质点不能运动到最高点，实际上质点还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动.【例题1】 如右图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2,求： (1) 在最高点时，绳的拉力？ (2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?（2）杆模型（杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力）有物体支撑的小球在竖直平面内作圆周运
5、动的情况. 小球在圆管道内作圆周运动的情况类似杆模型。 如下图所示， O杆ba临界条件：由于杆（或管壁）的支撑作用，小球恰能过最高点的临界速度. 小球过最高点时，轻杆对小球的弹力N情况：. 当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于重力，即N=mg. 当时，即，轻杆对小球有向上的支持力，其大小随速度的增大而减小.取值范围：.当时，向心力完全由重力提供，N=0.（杆对球作用力为推力还是拉力的临界速度）. 当，则，即，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大. 【例题2】 如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内
6、作圆周运动，求：（1）小球在最高点A时速度为多大时，才能使杆对小球m 的作用力为零？（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？（3）如m= 0.5kg，L= 0.5m，= 0.4m/s，则在最高点A时，杆对小球m的作用力是多大? 是推力还是拉力?总结：竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类.“轻绳”类只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点时对物体拉力为零是临界条件，即；而对于“轻杆”类，在最高点时，“轻杆”对物体既可产生拉力，也可产生支持力，还可对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是临界条件，即：N=0物理情景
7、图示在最高点的临界特点做圆周运动条件细绳拉着小球在竖直平面内运动T=0在最高点时速度应不小于小球在竖直放置的光滑圆环内侧运动N=0在最高点时速度应不小于小球固定在轻杆上在竖直面内运动在最高点速度应大于0小球在竖直放置的光滑管中运动 在最高点速度应大于0（3）小球在凸、凹弧上运动如图，小球在凸半球最高点运动. 当，小球不会脱离球面，且能通过球面最高点. 当，因轨道不对小球产生弹力，故此时小球将刚好脱离球面做平抛运动。. 当小球已经脱离球面最高点做平抛运动。如图，小球若通过凹半球的最低点时，速度只要v0即可.【例题3】 汽车质量为，以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m，若汽车安全行驶。则汽车不
8、脱离最高点的临界速度是多少？若汽车达到临界速度时将做何种运动？水平位移为多少？（4）水平面内作圆周运动的临界问题. 物体在水平转台上作圆周运动静摩擦力f提供向心力当转台的转速逐渐增大时，静摩擦力随之增大，f达到最大值时，对应有临界角速度和临界速度【例题4】 在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO/旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，RL，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速逐渐增大，物块A相对圆盘始终未滑动。当增大到时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。O
9、/ROA火车转弯若内外轨等高，外轨对轮缘的侧压力提供向心力，铁轨和车轮极易受损；若外轨高于内轨，支持力与重力的合力提供部分向心力： 当时，轮缘不受侧向压力当时，轮缘受到外轨向内的挤压力当时，轮缘受到内轨向外的挤压力（5）求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围【例题5】 如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为，O2A长为L，A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度转动？【例题6】 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m
10、若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围（取g=10m/s2）ABOOr 三、反馈练习1. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为，圆筒的半径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为： A. B. C. D.ALOm 2. 长度为L0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m3.0kg的小球，如图所示， 小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0ms， g取10ms2，则此时细杆OA受到 （ ）A. 6.0N的拉力 B. 6.0N的压力C. 24N的拉力 D. 24N的压力3. 长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另
11、一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ）A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mv2/rC.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为4. 如图所示，长为L的轻杆一端固定一个小球，另一端固定在光滑水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点的速度,下列叙述中正确的是：（ ）A.的极小值为 B. 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C.当由值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大D.当由值逐渐减小时，杆对小球的弹力也逐渐增大 5. 如图所示，汽车车厢顶部
12、悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列答案中正确的是()AL1L2 BL1L2CL1L2 D前三种情况均有可能6. 半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图示。今给小物体一个水平初速度，则小物体将（ ）A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点，然后便离开斜面做斜下抛运动.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D.立即离开半圆球做平抛运动7. 汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 ms时，车对桥的压力为车重的。如果使汽车驶至桥顶
13、时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （）A、15 msB、20 msC、25 msD、30ms8. 用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h处，绳长l大于h，使小球在桌面上做匀速圆周运动求若使小球不离开桌面，其转速最大值是()A B C D9. 火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( )A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损D.以上三种说法都是错误的10. 在水平铁路转弯
14、处，往往使外轨略高于内轨，这是为了（ ）A. 减轻火车对外轨的挤压 B. 减轻火车对内轨的挤压 C. 火车倾斜是使车身重力和支持力的合力提供向心力 D. 限制火车脱轨11. 如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中（ ）AB对A的支持力越来越大 BB对A的支持力越来越小CB对A的摩擦力越来越大 DB对A的摩擦力越来越小 12. 如图，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列正确是()A小球通过最高点时的最小速度vminB小球通过最高点时的最小速度vmin0C小球在水平线ab以下的管道中运
15、动时，内侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 13. m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径为 r，传送带与皮带轮间不会打滑，当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少是() A. B. C. D. 14. 质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时杆子停止转动，则() A小球仍在水平面内做匀速圆周运动B在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增
16、大C若角速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动D若角速度较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动 15. 如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角2。当圆锥和球一起以角速度匀速转动时，球压紧锥面，此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？16. 如图所示，在水平转台上放有A、B两个小物块，它们距离轴心O分别为,，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍，g取.（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；AB（2）要使两物块都对台面发生滑动，求转台转动角速度应满足的条件。
17、17. 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是压力的倍。求：ro 当转盘角速度1时，细绳的拉力T1。当转盘角速度2时，细绳的拉力T2。18. 沿半径为R的半球型碗底的光滑内表面，质量为m的小球正以角速度，在一水平面内作匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度。Rh19. 杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=1/2mg，求这时小球的即时速度大小。20. 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个
18、直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为mA，B球的质量为mB。它们沿环形圆管顺时针运动，当A球运动到最低点时的速度为vA，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，B球的速度vB为多大？21. 某实验中学的学习小组在进行科学探测时，一位同学利用绳索顺利跨越了一道山涧，他先用绳索做了一个单摆，通过摆动，使自身获得足够速度后再平抛到山涧对面，如图所示，若他的质量是M，所用绳长为L，在摆到最低点B处时的速度为v，离地高度为h，当地重力加速度为g，则：(1)他用的绳子能承受的最大拉力不小于多少？(2)这道山涧的宽度不超过多大？ 22. 如图所示，被长L的轻杆连接的小球A能绕
19、固定点O在竖直平面内作圆周运动，O点竖直高度为h，如杆受到的拉力等于小球所受重力的5倍时就会断裂，则当小球运动的角速度为多大时，杆恰好断裂? 小球飞出后，落地点与O点的水平距离是多少?23. 小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。求：（1）绳断时球的速度大小；（2）绳能承受的最大拉力；（3）改变绳长（绳承受的最大拉力不变），保持手的位置不动，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？13
