1、考点4.6 临界与极值问题考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题1、圆的“放缩”当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件如图所示，粒子进入长方形边界OABC形成的临界情景为和.1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP、QQ的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里.一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )A. B.
2、 C. D.2. (2016全国卷，18)平面OM和平面ON之间的夹角为30，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )A. B. C. D.3. （多选）长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(不计重
3、力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A、使粒子的速度vC、使粒子的速度v D、使粒子速度v4. 如图所示，边长为L的正方形ABCD区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为B的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为q的粒子从AB边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与AB边的夹角为30.若要求该粒子不从AD边射出磁场，则其速度大小应满足( )Av Bv Cv Dv5. 如图所示，条形区域AA、BB中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，AA、BB为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d.一束带正电
4、的某种粒子从AA上的O点以大小不同的速度沿着AA成60角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v0时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值t0；当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB射出磁场不计粒子所受重力求：(1) 粒子的比荷；(2) 带电粒子的速度v0和v1.6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？(2) 要使粒子不穿
5、出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？7. 如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值静止的带电粒子带电荷量为q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为45，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1) 两板间电压的最大值Um；(2) CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3) 粒子在磁场中运动的最长时间tm.8. 如图所示，OP曲线的方程为：y=10.4(x,y单位均
6、为m)，在OPM区域存在水平向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100NC(设为区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。今在曲线OP上同时由静止释放质量m=1.610-25 kg，电荷量e=1.610-19C的带正电的粒子2000个(在OP上按x均匀分布)。不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子重力，求： (1) 粒子进入区的最大速度值；(2) 粒子打在荧光屏上的亮线
7、的长度和打在荧光屏上的粒子数；(3) 粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。 考点4.6.2 “旋转圆”方法解决极值问题2定圆“旋转”当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景【例题】如图所示，在0xa区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0180范围内已知沿y轴正方向发射
8、的粒子在tt0时刻刚好从磁场边界上P(a，a)点离开磁场求：、粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；、此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；、从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间9. （多选）如图所示，在0xb、0ya的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为。不计粒子的重力及粒子间的
9、相互作用，则( )A 粒子射入磁场的速度大小vB 粒子圆周运动的半径r2aC 长方形区域的边长满足关系1D 长方形区域的边长满足关系210. 如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里P为屏上的一个小孔PC与MN垂直一群质量为m、带电量为q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为的范围内则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为( )A B. B D. 11. (多选)如图，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电
10、的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则(BC)A 能打在板上的区域长度是2dB 能打在板上的区域长度是(1)dC 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为D 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为12. 如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，粒子源S向平行于纸面的各个方向发射出大量带正电荷的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场已知AOC60，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时
11、间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )A. B. C. D.13. （多选）如图所示，宽d = 2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r = 5cm，则 （ ）A 右边界：-4cmy4cm的范围内有粒子射出B 右边界：y4cm和y-4cm的范围内有粒子射出C 左边界：y8cm的范围内有粒子射出D 左边界：0y8cm的范围内有粒子射出14. 如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的
12、一点大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v从P点射入磁场这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上，PQ圆弧长等于磁场边界周长的.不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( )A.B. C. D.15. （多选）如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在xOy平面内在直线xa与x2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出不计粒子的重力和粒子间的相互作用力关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( )A 粒子的速
13、度大小为 B、粒子的速度大小为C、与y轴正方向成120角射出的粒子在磁场中运动的时间最长D、与y轴正方向成90角射出的粒子在磁场中运动的时间最长16. 如图所示，在矩形区域abcd内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在ad边中点O的粒子源，在t0时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od的夹角分布在0180范围内已知沿Od方向发射的粒子在tt0时刻刚好从磁场边界cd上的P点离开磁场，ab1.5L，bcL，粒子在磁场中做圆周运动的半径RL，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：(1) 粒子在磁场中的运动周期T；(2) 粒子的比荷；(3) 粒子在磁场中运
14、动的最长时间17. 如图所示，在xOy坐标系坐标原点O处有一点状的放射源，它向xOy平面内的x轴上方各个方向发射粒子，粒子的速度大小均为v0，在0yd的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为，其中q与m分别为粒子的电量和质量；在dy2d的区域内分布有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，mn为电场和磁场的边界ab为一块很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x轴，放置于y=2d处，如图所示观察发现此时恰好无粒子打到ab板上（不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用），求：（1） 粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离;（2） 磁感应强度B的大小；（3） 将ab板至少向下平移多大
15、距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时ab板上被粒子打中的区域的长度考点4.6.3 最小磁场区域求解问题18. 一带电粒子，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第象限所示的区域(下图所示)为了使该粒子能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计19. 在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点现有一质量为m、带电荷量为q的带电粒子(不计重力)从
16、O点以初速度v0沿x轴正方向进入磁场，已知粒子经过y轴上P点时速度方向与y轴正方向夹角为30，OPL，求：(1) 磁感应强度的大小和方向；(2) 该圆形磁场区域的最小面积20. 如图所示，MN为绝缘板，CD为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁场，方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为m电荷量为q的粒子（不计重力）以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向O点），已知图中虚线圆弧的半径为R，其所在处场强大小为E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场（1） 求粒子运动的速度大小；（2） 粒子在磁场中运
17、动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场，从A点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？（3） 粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为多少？21. 电子对湮灭是指电子“e”和正电子“e+”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且=2L，Q点在负y轴上某处在第象限内有平行于y轴的匀强电场，在第象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、C两点，=L，
18、在第象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为的正电子束从Q点沿与y轴正向成45角的方向射入第象限，而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反已知正负电子质量均为m、电量均为e，电子的重力不计求：（1） 圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第象限内匀强电场的场强E的大小；（2） 电子子从A点运动到P点所用的时间；（3） Q点纵坐标及未知圆
19、形磁场区域的最小面积S22. 如图所示的直角坐标系中，在直线x=2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A（2l0，l0）到C（2l0，0）区域内，连续分布着电量为q、质量为m的粒子从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图不计粒子的重力及它们间的相互作用求匀强电场的电场强度E；求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？ - 11 -
