1、 复习引入：新授： 1. 向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量记为向量a,b,c,.等，在书写时，则在小写西文字符的上方加一个小箭头，例如,.等如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模记为|a|,|b|,|c|,.或|,|,|,.ca图7-2(1)b 特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示DC图7-2(2)BA
2、B1C1了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量的模(即大小)有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标出起终点(见图7-2(2)，此时可以以,等表示向量，而向量的模，也就对应地表示为|,|,|由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量 例1 设矩形ABCD的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？课内练习1 1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的
3、模，并判断哪些向量是单位向量？ 2. 向量的比较 (1)向量相等 任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等(ab)两种，只要根据两个数的大小就可以下结论因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等(ab)在例1中的相等向量有且仅有 =, =, =, =， 更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不
4、能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b 若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量 例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4 (1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量； (2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是？为什么？ (2
5、)相反向量 对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即=-例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量： =-, =-, =-, =-, =-, =- 例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A试以a,b表示第三、四次位移 (3)平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或
6、向量b平行于向量a规定零向量平行于任意向量. 根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量 例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系课内练习2 1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？第3题图WF1F 2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？ 3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况(如附图)，物体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛
7、盾吗？试作出合理的解释复习引入：新授： (1)向量的加法运算向量加法运算的法则 向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：把b的始点移到a的终点后、从a的始点连到b的终点记作 c=a+b图9-9(1)cab图9-9(2)cab与数量相加一样，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量 在a,b不平行的情况下，c是重合a,b的始点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量，其指向与a,b同侧(平行四边形法则，见图9-9(1)；也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的第三边向量(三角形法则，见图9-9(2)对于三角形法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连 例4 用两种方法作出图
8、9-10(1)中向量a,b的和向量c图9-10(3)abbc图9-10(2)cab图9-10(1) 解 (1)按平行四边形法则，把的始点移到同一点构成一个以为相邻边的平行四边形，对角线向量即为和向量c(见图9-10(2) (2)移b的始点到a的终点，从a的始点连向b的终点的向量即为和向量c(见图9-10(3) 例5 (1)若b=-a，求c=a+b； (2)若a,b平行，求c=a+b图9-12abdcabcdf 例6 已知向量a,b, c, d如图9-12，求f=a+b+c+d 解 逐次应用向量加法的法则移加向量的始点到被加向量的终点，从被加向量的始点连向加向量的终点，得到和向量f如图9-12所
9、示，其中虚线表示的向量，从左向右依次是a+b, a+b+c课内练习3 1. 请举一个向量相加的实际问题 2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？第4题图ABCD 3. a+(-a)=0，因此|a|+|-a|=0，这个结论正确吗？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？ 4. 矩形ABCD如图，试求 +,+,+,+得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD如第4题，求 (+)+,+(+),+,+得到的和向量之间有哪些关系？ 数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律(a+b+c=(a+b)+
10、c=a+(b+c)，向量的加法运算同样满足交换律和结合律 a+b=b+a， a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)， (2)向量的减法运算图9-13(2)-ba-bac 如同数量a,b相减a-b，是被加数a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a,b相减a-b，实际上是向量a与向量b的相反向量-b相加，即a+(-b)应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则图9-图9-13(3)abc图9-13(1)ab13(1)中是已知向量a,b；图9-13(2)显示了a+(-b)；图9-13(2)显示了a-b的直接运算法则，法则的文字表述是：a-b的结果是一个向量c，把a,b的始点移到同一点，从b的
11、终点连向a的终点的向量就是c(三角形法则) 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减记作 c=a-ba叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量 例7 在DABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 例8 在DABC中，若边向量为,，求 (1)a=+；(2)求b=-课内练习4 1. 在DABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 2. 在矩形ABCD中的边向量为,，求 (1)a=-；(2)b=-；(3)c=-；(4)d
12、=- 因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-(b+c) (3)向量的数乘运算 在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a在例8向量运算中，我们两次都遇到a=+,b=+这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2,b=2呢？这完全取决与如何规定2,2的含义，若规定它们的含义确实与+,+相同，那么这种简写就完全合法且合理了为此我们作如下的定义： 一个实数a乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|a|倍，即 |b|=|a|a|；b的
13、方向当a0时与a的方向相同，当a0时与a的方向相反记作 b=aa 或 b=aa，把向量的这种运算叫做向量的数乘运算 根据向量数乘运算的这种规定，立即可知 -a=-1a，a+a=2a，-a-a=-2a 把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律： (a+b)a=aa+ba，a (a+b)=aa+ab，其中a,b是任意实数，a,b是任意向量 根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数a，使b=aa（a0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数a，使b=aa（a0） 例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，
14、求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a) =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=(2+9+4+4)a-(6+8-2)b=19a-12b 例9 DABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为DA1BC1，求边A1C1的长(见图9-15)课内练习5 1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a 2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模 3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-3c +3f
15、-3d-3g-2b 4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行当甲行进2km、乙行进6km时两人相距4km，问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km时，两人相距多少？ 复习引入：新授：1平面向量的直角坐标(1)坐标基底向量O j yix图7-16设在平面上已经建立了一个直角坐标系xOy方向为x轴正向的单位向量i、方向为y轴正向的单位向量j叫做该坐标系的坐标基底向量(见图9-16)(2)平面向量的直角坐标在坐标平面上给定了向量 a，平移其始点到原点后(见图7-17)，设其终点A的坐标为(x,y)把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a=(x,y) 若向量a的坐标为(x,y)，则其
16、模可以用坐标表示为 |a|= (7-2-1)OajAyix图7-17xiyjxiyj 坐标基底向量也有其坐标，分别是i=(1,0), j=(0,1) 以原点O为始点、点A在x,y轴上的投影为终点，是两个分别平行于i, j的向量，根据向量加法定义，有 a=xi+yj， (7-2-2)即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a，直接在a上作分解(见图7-17)例如从图7-18，我们就可以直接看出=i-2j =(1,-2)课内练习1 xyOBDPCAEF图9-18 1. 写出图9-18中向量,的坐标，并求它们的模 2. 向量关系的坐标表示 向
17、量之间有相等、相反、平行(共线)等关系当知道了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单 (1)相等：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=b a1=a2, b1=b2即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等 (2)相反：若a=(a1,b1),b=(a2,b2)，则OaA yx图7-19bBA1B1a1a2b1b2 a=-b a1=-a2, b1=-b2即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量相反 (3)平行(共线)：向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行 移a,b的始点到原点后，它们的终点A,B与原点共线 DOA1ADOB1B(见图7-19) 所
18、以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例 例1 已知向量a=(2,-1)，当x为多少时，向量b=(x,2)与a平行？ 解 a/b x=-4所以当x=-4时a/b课内练习2 1. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线： a=(2,-1), b=(-2, 1), c=(-6, 3), d=(42,-21), e=(2,-1), f=(8,-4), g=(-2,-1) 2. 已知向量a=(9,-4)，当y为多少时，向量b=(-12,y)与a平行？3平面向量运算的直角坐标表示把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示(
19、1)数乘：设a=(x,y)，即a=xi+yj，b=la，则 b=la=l(xi+yj)=lxi+lyj=(lx,ly)，即 la=l(x,y)=(lx,ly) (7-2-3)即向量a数乘l后所得向量的坐标，是a的纵、横坐标的l倍 (2)加减法：设a=(a1,b1)，b=(a2,b2)，则 a=a1i+b1j，b=a2i+b2j， a+b=(a1i+b1j)+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j，即 a+b=(a1+a2, b1+b2) (7-2-4)同理也有a-b=(a1-a2, b1-b2) (7-2-5)x图7-20yOAB 所以向量a, b的和、差向量的坐标，等于a,
20、 b的坐标对应的和、差 (3)给定始终点的向量的坐标 向量a=若已知点A,B在坐标A(x1,y1),B(x2,y2)(见图7-20)，则 =(x1, y1),=(x2, y2)， =-=(x2-x1,y2-y1) (7-2-6) 所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标例2 已知a=(1,-2), b=(2,3)，求a + b, a - b, 2a-3bxBxOxDCxAxy图7-21例3 已知A(1,2), B(-2,1)，求,解 应用公式(10-2-6)， =(-2-1,1-2)=(-3,-1)；=(1-(-2),2-1)=(3,1) 例4 已知平行四边形ABCD的顶
21、点坐标A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(见图7-21)，求顶点D点坐标例5 已知A(2,3),B(-2,5),且=2，求C点的坐标 例6 某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了3小时自行车到达B处问B离此人出发点的直线距离是多少？课内练习2 1. 已知a=(-1,2), b=(2,-2),求a+ b, a - b,-a+2b 2. 已知a=(-2+x,4), b=(-3,-1-y),且a=b,求x,y 3. 根据下列条件求与的坐标： (1)A(-1,0), B(2,-1)；(2)A(-2,1), B
22、(3,1)；(3)A(2,1), B(0,-2)；(4)A(-2,4), B(-3,8) 4. 已知平行四边形ABCD的A(1,0),B(2,5),C(-1,1),求D点坐标 5. 已知A(6,-3),B(3,-5),且= -2，求C点的坐标 复习引入：新授：1. 向量的数量积图7-25(ab)ab (1)平面向量所成的角给定两个非零平面向量a,b，移它们的始点到同一点，以表示向量的线段所在直线为始终边的角，叫做向量a,b所成的角，记作(ab)(见图7-25)；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定0(ab)p零向量0与任何向量所成的角认为可以任意为了方便有时也把(ab)叫做向量之间的夹角从向量
23、所成角定义，立即可知 (ab)=0 a/b (即a,b共线)；(ab)= p a=-b (即a,b互为相反向量)特别地，当(ab)=，则我们说a与b垂直，记作ab (2)向量的数量积已知向量a,b，a,b的数量积是一个以下式定义的数量： ab=|a|b|cos(ab)其中(ab)表示向量a,b之间所成的角向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积 例1 求下列向量的数量积： (1)|a|=5,|b|=4, (ab)=，求a
24、b； (2)a=(3,4),|b|=, (ab)=，求ab； (3)a=(3,4), b=(-3,-4)，求ab； (4)a=(1,3)，求aa； (5)a=0，b=(x,y)，求ab课内练习1 1. 求下列向量的数量积： (1)|a|=2,|b|=8, (ab)=，求ab； (2)a=(1,3),|b|=, (ba)=，求ab；(3)a=(-3,-2), b=(3,2)，求ab； (4)a=(5,3)，求aa； (5)a=(10,y)，b=0，求ab (3)向量数量积的基本运算法则 根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则： 交换律：ab=ba； 数乘分配率：(la)b=a(lb)=l
25、(ab)，(任意lR)； 分配率：(a+b)c=ac+bc例2 设=(3,-1), |=2, q=()=，求(1)(2)(3)；(2)(+2)；(3)(-4)(+2)课内练习21已知|a|=4, |b|=3，a与b的夹角为，求(2a-b)(a+2b)2已知A(-1,2),B(1,4)，|=4, q=()=，求(1)(3)；(2)(2+)；(3)(-+2)(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的ab ab=0；当a/b且同向时，ab=|a|b|；当a/b且方向相反时，ab=-|a|b|；aa=|a|2，所以|a|=；cos(ab)= (7
26、-3-2) 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用例3 已知|a|=4, |b|=5，分别在下列条件下求ab： (1)a/b；(2)ab例4 已知|a|=2, |b|=4，a b=-6，求(ab)的余弦值课内练习3 1. 已知a/b，|a|=1, |b|2，求 ab 2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由： (1)0a=0；(2)|a|=aa；(3)ab=|a|b|；(4)ab=|ab|；(5)|ab|=|a|b|cos(ab)|； (6)(ab)(ab)=(aa)(bb)=|a|2|b|2；(7)a/b 存在实数l，使ab=l|a|2； (8)(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2；(9)(a+b)(a-b)=a2-b2 3. 已知|a|=1, |b|=4, ab=2，求(ab)2平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积首先考察坐标基底向量i, j的数量积，有 ii=1；ij=ji=0；jj=1 (4)现设向量 a, b的坐标为a=(x1,y1), b=(x2,y2)，即 a=x1i+y1j, b=x2i+y2j，则 ab=(x
