1、/（k!（n-k）!），注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作B（n,p）期望：E=np；方差：D=npq；其中q=1-p证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。设随机变量X（k）（k=1,2,3.n）服从（0-1）分布，则X=X（1）+X（2）+X（3）.X（n）.因X（k）相互独立，所以期望：证毕。如果1在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2每次实验是独立的，与其它各
2、次试验结果无关；3结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C（n,k）pk（1-p）（n-k）。C（n,k）表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。（一）二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。1当p=q时图形是对称的例如，p=q=
3、1/2，各项的概率可写作： 2当pq时，直方图呈偏态，pq的偏斜方向相反。如果n很大，即使pq，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定：当pq且nq5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。（二）二项分布的平均数与标准差如果二项分布满足pq，np5）时，二项分布接近正态分布。这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量（即成功的次数）具有如下性质：即x变量具有 =np，的正态分布。式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1- p。 由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，
4、标准差是根据理论推导而来的，故用和而不用X和S表示。它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数 =np，成功次数的分散程 。例如一个掷10枚硬币的试验，出现正面向上的平均次数为5次（= np=），正面向上的散布程度为10（1/2）（1/2）= 1.58（次），这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近1.58。（1）当（n+1）p不为整数时，二项概率PX=k在k=（n+1）p时达到最大值；（2）当（n+1）p为整数时，二项概率PX=k在k=（n+1）p和k=（n+1）p-1时达到最大值。注：x为不超过x
5、的最大整数。1各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。2已知发生某一结果（阳性）的概率为，其对立结果的概率为1-，实际工作中要求是从大量观察中获得比较稳定的数值。3n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项
6、分布来解决。下面给出一个例子。已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素?分析：此题，即猜对猜错的概率各为0.5。，故此二项分布接近正态分布：根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下包含了全体的95%。如果用原分数表示，则为它的意义是，完全凭猜测，10题中猜对8题以下的可能性为95%，猜对8、9、10题的概率只5%。因此可以推论说，答对8题以上者不是凭猜测，而是会答。但应该明确：作此结论，也仍然有犯错误的可能，即那些完全靠猜测的人也有5%的可能性答对8、9、10道题。此题的概率值，还可用二项分布函数直接计算，亦得与正态分布近似的结果：b
7、（8 10 0.5）=10*9/2*0.58*0.52 = 45/1024b（9 10 0.5）=10*0.59*0.51 = 10/1024b（10 10 0.5） = 1/1024根据概率加法，答对8题及其以上的总概率为：45/1024+10/1024+1/1024=56/1024 = 0.0547 同理，可计算8题以下的概率为 95%。（近似）附表 1 二项分布表PX x = n pk （1- p）n-kx k k =0 k np0.0010.0020.0030.0050.010.020.030.050.100.150.200.250.3020.99800.99600.99400.990
8、00.98010.96040.94090.90250.81000.72250.64000.56250.490011.00000.99990.99960.99910.99750.97750.96000.93750.910030.99700.99100.98510.97030.94120.91270.85740.72900.61410.51200.42190.34300.99970.99880.99740.99280.97200.93930.89600.84380.78400.99900.99660.99200.98440.973040.98810.96060.92240.88530.81450.
9、65610.52200.40960.31640.24010.99940.99770.99480.98600.94770.89050.81920.73830.65170.99950.99630.98800.97280.94920.91630.99840.99610.991950.99500.97520.95100.90390.85870.77380.59050.44370.32770.23730.16810.99980.99620.99150.97740.91850.83520.73730.63280.52820.99140.97340.94210.89650.83690.99780.99330
10、.96920.997660.98210.97040.94150.88580.83300.73510.53140.37710.26210.17800.11760.99850.99430.98750.96720.88570.77650.65540.53390.42020.98420.95270.90110.83060.74430.99870.99410.98300.96240.92950.99540.98910.999370.99300.98610.97920.96550.93210.86810.80800.69830.47830.32060.20970.13350.08240.99210.982
11、90.95560.85030.71660.57670.44490.32940.97430.92620.85200.75640.64710.99730.98790.96670.92940.87400.99530.98710.971280.98410.97630.96070.92270.85080.78370.66340.43050.27250.16780.10010.05760.98970.97770.94280.81310.65720.50330.36710.25530.99420.96190.89480.79690.67850.55180.97860.94370.88620.80590.99
12、710.98960.97270.94200.99580.988790.97330.95590.91350.83370.76020.63020.38740.23160.13420.07510.04040.98690.97180.92880.77480.59950.43620.30030.19600.99160.94700.85910.73820.60070.46280.99170.96610.91440.83430.72970.99440.98040.95110.90120.99690.97470.9957100.98020.90440.81710.73740.59870.34870.19690
13、.10740.05630.02820.99890.98380.91390.73610.54430.37580.24400.14930.99720.98850.92980.82020.67780.52560.38280.98720.95000.87910.77590.64960.99010.92190.84970.99860.99360.98030.99650.9894110.97820.96750.94640.89530.80070.71530.56880.31380.16730.08590.04220.01980.98050.95870.89810.69740.49220.32210.197
14、10.11300.98480.91040.77880.61740.45520.31270.98150.93060.83890.71330.56960.94960.88540.78970.98830.96570.92180.99240.9784120.96460.94160.88640.78470.69380.54040.28240.14220.06870.03170.01380.99380.97690.95140.88160.65900.44350.27490.15840.08500.99520.88910.73580.55830.39070.25280.97440.90780.79460.64880.49250.97610.92740.84240.72370.98060.94560.88220.98570.96140.99050.9983130.96170.93690.87750.76900.67300.51330.25420.12090.05500.02380.0097
