1、直线与圆锥曲线的位置关系练习题 一、选择题1双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()Ak Bk Ck或k Dk2若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2 C1 D03斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.4设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线yx21只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A. B5 C. D.5已知A，B为抛物线C：y24x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若4，则直线
2、AB的斜率为()A B C D6.过点(0,2)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有( C )A1条 B2条 C3条 D无数条7.直线ykxk1与椭圆1的位置关系为( A )A相交 B相切 C相离 D不确定8.已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( A )A(1,2) B(1,2 C2，) D(2，)9.过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|3，则AOB的面积为( C )A. B. C. D210已知对kR，直线ykx10与椭圆1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A(0
3、, 1) B(0,5) C1,5)(5，) D1,5)11直线l：yx3与曲线1交点的个数为()A0 B1 C2 D312已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2) B(1,2) C(2，) D2，)13斜率为1的直线l与椭圆y21交于不同两点A、B，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.14设离心率为e的双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()Ak2e21 Bk2e21 Ce2k21 De2k21二、填空
4、题1直线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_2已知(4，2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_3(2013汕头模拟)已知点P在直线xy50上，点Q在抛物线y22x上，则|PQ|的最小值等于_4.若椭圆1与直线x2y20有两个不同的交点，则m的取值范围是 .5.已知两定点M(2,0)，N(2,0)，若直线上存在点P，使得|PM|PN|2，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：yx1；yx2；yx3；y2x.其中是“A型直线”的序号是 .三、解答题1设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点(1)若直
5、线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|.4.已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设axi(y1)j，bxi(y1)j，且满足|a|b|2.(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；(2)设点F(0,1)，点A，B，C，D在曲线C上，若与共线，与共线，且0.求四边形ACBD的面积的最小值和最大值5(2013佛山质检)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21.如图893所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG
6、|2|OD|OE|，求证：直线l过定点直线与圆锥曲线的位置关系练习题解析及答案一、选择题1【解析】由双曲线的几何意义，k.【答案】D2【解析】由题意知：2，即2，点P(m，n)在椭圆1的内部，因此直线与椭圆有2个交点【答案】B3【解析】设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则有x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.【答案】C4【解析】双曲线1的一条渐近线为yx，由方程组消去y得，x2x10有唯一解，所以()240，2，e .【答案】D5【解析】焦点F(1，0)，直线AB的斜率必存在，且不为0.故可设直线A
7、B的方程为yk(x1)(k0)，代入y24x中化简得ky24y4k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y24，又由4可得y14y2，联立式解得k.【答案】D6、解析：易知y轴与抛物线切于原点满足条件；直线y2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x轴上方，故这样的直线有3条选C.7. 选A.8、解析：双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即tan 60，所以双曲线的离心率e2，即1e2，故选A.9、解析：设AFx(0)及|BF|m，则点A到准线l：x1的距离为3，得323cos cos .又m2mcos()m，AOB的面积为S|OF|AB|si
8、n 1(3)，故选C.10.解析：直线ykx1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆1外部即可从而m1，又因为椭圆1中m5，所以m的取值范围是1,5)(5，). 答案： C11.解析：当x0时，曲线为1；当x0时，曲线为1，如图所示，直线l：yx3过(0,3)，又由于双曲线1的渐近线yx的斜率1，故直线l与曲线1(x0)有两个交点，显然l与半椭圆1(x0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点. 答案：D12.解析：过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是60，从而，故2. 答案：D13.答案：C14.解析：由双曲线
9、的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足k，即k2e21.答案：C二、填空题1【解析】直线ykx1过定点(0，1)，由题意知m1，且m5.【答案】m1，且m52【解析】设直线l与椭圆相交于A、B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得，又x1x28，y1y24，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.【答案】x2y803【解析】设直线l平行于直线xy50，且与抛物线相切，设l：yxm，由得y22y2m0，由48m0，得m.则两直线距离d，即|PQ|min.【答案】4解析：由消去x并整理得(34m)y28mym0，根据条件得，解得m3.5解析：由条件知考虑给出直线与
10、双曲线x21右支的交点情况，作图易知直线与双曲线右支有交点，故填.三、解答题1解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，解得b.2解：(1)设抛物线C的方程为y22mx，由得2y2my20m0.0，m0或mb0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|.4.解析：(1)|a|b|2，
11、2.由椭圆的定义可知，动点P(x，y)的轨迹是以点F1(0，1)，F2(0,1)为焦点，以2为长轴的椭圆点P(x，y)的轨迹C的方程为：x21.(2)由条件知AB和CD是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且ABCD，直线AB、CD中至少有一条存在斜率，不妨设AB的斜率为k，又AB过点F(0,1)，故AB的方程为ykx1，将此式代入椭圆方程得(2k2)x22kx10，设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，从而|AB|2(x1x2)2(y1y2)2，亦即|AB|.当k0时，CD的斜率为，同上可推得|CD|，故四边形ABCD面积S|AB|CD|.令uk2，得S2.
12、uk22，当k1时u2，S，且S是以u为自变量的增函数，S2.当k0时，CD为椭圆长轴，|CD|2，|AB|，S|AB|CD|2.故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为，2.5 【解】(1)设直线l的方程为ykxt(k0)由题意知t0.由方程组得(3k21)x26ktx3t230.由题意知0，所以3k21t2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，所以y1y2.所以xE，yE，此时kOE.所以OE所在直线的方程为yx.由题意知D(3，m)在直线OE上，所以m，即mk1，所以m2k22mk2，当且仅当mk1时等号成立此时由0，得0t2.因此当mk1且0t2时，m2k2取最小值2.(2)证明由(1)知OD所在直线的方程为yx，将其代入椭圆C的方程，并由k0，解得G(，)又E(，)，D(3，)，由距离公式及t0，得|OG|2()2()2，|OD| ，|OE|.由|OG|2|OD|OE|，得tk.因此直线l的方程为yk(x1)所以直线l恒过定点(1，0)10
