1、江苏省苏州市太仓市、昆山市联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）函数y=+1g（x1）的定义域是2（5分）若直线l的倾斜角为120则l的斜率是3（5分）在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果a：b：c=3：2：4，那么cosC=4（5分）若不等式x2axb0的解集为x|2x3，则a+b=5（5分）在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，B=，tanA=2，则a=6（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积为7（5分）在ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则ABC的形状为8（5分）设A，
2、B是ABC的内角，且（1+tanA）（1+tanB）=2，则C=9（5分）在ABC中，若A=60，边AB=2，SABC=，则BC边的长为10（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为11（5分）已知、满足+=0，且与的夹角为135，与的夹角为120，|=2，则|=，|=12（5分）已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是13（5分）有一个角为60的钝角三角形，满足最大边与最小边之比为m，则m的取值范围为14（5分）设二次函数f（x）=ax24x+c（a0）的值域为二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）已知ABC，a，b，c分别是角A，B，C所对的边
3、，且a，b，c互不相等，设a=5，c=3，A=2C（1）求cosC的值（2）求b的值16（14分）设f（x）=6cos2xsin2x（1）求f（x）的最大值及最小正周期（2）若满足f（）=3，求sin（2）的值17（14分）已知不等式x23x+20的解集为A，不等式1的解集为B，不等式x2（a+1）x+a0的解集为C（1）求AB（2）若AC=R，求a的取值范围18（16分）已知在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，向量，（1）求角A的大小；（2）若a=3，求ABC面积的最大值19（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，并
4、在公路同侧建造一个矩形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，CD=EF+1且ABC=60，设AB=ykm，CF=xkm（1）求y关于x的函数解析式（2）如果中转站四周围墙（即矩形周长）造价为2万元/km，两条道路造价为6万元/km，问：x取何值时，该公司建中转围墙和两条道路总造价M最低？20（16分）设a为实数，设函数f（x）=2，设t=（1）求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）（2）若g（t）0恒成立，求实数a的取值范围（3）若存在t使得|g（t）|t成立，求实数a的取值范围江苏省苏州市太仓市、昆山市联考
5、2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）函数y=+1g（x1）的定义域是（1，2考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：通过对数的真数大于0，被开偶次方数非负求解即可解答：解：要使函数有意义，可得：，解得：x（1，2函数y=+1g（x1）的定义域是（1，2故答案为：（1，2点评：本题考查函数的定义域的求法，对数的解得性质的应用，考查计算能力2（5分）若直线l的倾斜角为120则l的斜率是考点：直线的斜率 专题：直线与圆分析：直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可解答：解：直线l的倾斜角为120则l的
6、斜率是：tan120=故答案为：点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查3（5分）在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果a：b：c=3：2：4，那么cosC=考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由已知的a：b：c的比值设出a，b及c，然后利用余弦定理表示出cosC，把设出的a，b及c代入，化简可得cosC的值解答：解：因为a：b：c=3：2：4，所以设a=3k，b=2k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键4（5分）若不等式x2axb0的解集为x|2x3，则a+b=1考点：一元二次
7、不等式的应用 专题：计算题分析：不等式x2axb0的解集是x|2x3，故3，2是方程x2axb=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b可得解答：解：由题意不等式x2axb0的解集是x|2x3，故3，2是方程x2axb=0的两个根，3+2=a，32=ba=5，b=6a+b=56=1故答案为：1点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系5（5分）在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，B=，tanA=2，则a=2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：
8、由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由b与sinB的值，利用正弦定理即可求出a的值解答：解：tanA=2，cos2A=，sinA=，又b=5，sinB=，由正弦定理得：a=2故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键6（5分）不等式组，所表示的平面区域的面积为8考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式组画出图形，求解阴影部分的面积问题解答：解：因为不等式组，所以表示的平面区域直角三角形，根据图形得出：面积=8，故答案为：8点评：本题考查了不等式组表示的平
9、面区域的面积问题，关键是画出图形，确定点，求解面积，属于几何图形的运用问题7（5分）在ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则ABC的形状为等腰三角形考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状解答：解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosCsinCcosB=0，即sin（BC）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C三角形的等腰三角形故答案为：等腰三角形点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力8（5分）设A，B是ABC
10、的内角，且（1+tanA）（1+tanB）=2，则C=考点：两角和与差的正切函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：将已知关系式（1+tanA）（1+tanB）=2展开整理，可得tan（A+B）=1，从而可求得ABC中的角C解答：解：（1+tanA）（1+tanB）=2，tanA+tanB+tanAtanB=1，=1，即tan（A+B）=1，A，B是ABC的内角，tan（C）=1，tanC=1C=故答案为：点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查化简与运算能力，属于中档题9（5分）在ABC中，若A=60，边AB=2，SABC=，则BC边的长为考点：余弦定理；三角形的面积公式 专题：解三角形分析
11、：由AB，sinA及已知的面积，利用三角形面积公式求出AC的长，再由AB，AC及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长解答：解：A=60，边AB=2，SABC=，SABC=ABACsinA，即=2AC，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+12=3，则BC=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键10（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到
12、最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域，联立，解得B（2，3），化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过B（2，3）时，z取得最大值为z=2+23=8故答案为：8点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11（5分）已知、满足+=0，且与的夹角为135，与的夹角为120，|=2，则|=，|=1+考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由已知+=0，可知三个向量首尾相接后，构成一个三角形，且与的夹角为135，与的夹角为120，可以得到三角形的两个内角和一边的长，利用正弦定理，可求出向量对应边的长度解答：解：+=0，
13、三个向量首尾相接后，构成一个三角形且与的夹角为135，与的夹角为120，|=2，故所得三角形如下图示：其中C=45，A=60，AB=2|=；|=1+；故答案为：点评：本题考查了向量的三角形法则的运用以及利用正弦定理求三角形的边长关键是明确三个向量的位置关系12（5分）已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是（1，1）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由题意f（x）在m2，故m的取值范围为（2，+）点评：本题考查等差数列的定义和性质，正弦定理的应用，求得tan=是解题的关键，属于中档题14（5分）设二次函数
14、f（x）=ax24x+c（a0）的值域为故答案为 点评：本利用基本不等式求函数最值是2015届高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等同时注意数形结合思想的运用是中档题二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）已知ABC，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b，c互不相等，设a=5，c=3，A=2C（1）求cosC的值（2）求b的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）对A=2C两边取正弦，运用二倍角公式和正弦定理，计算即可得到cosC的值；（2）运用余弦定理，代入计算即可得到b的值解答：解：（1）由A=2C，
15、可得sinA=sin2C=2sinCcosC，由正弦定理可得a=2ccosC，代入a=5，c=3，可得cosC=；（2）由余弦定理，c2=a2+b22abcosC即9=25+b225b，解得b=3或，由于a，b，c互不相等，即有b=点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查三角函数的二倍角公式，考查运算能力，属于中档题16（14分）设f（x）=6cos2xsin2x（1）求f（x）的最大值及最小正周期（2）若满足f（）=3，求sin（2）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析
16、式化简，利用三角函数图象与性质求得函数的最大值和最小正周期（2）根据已知等式求得cos（+）的值，利用倍角公式求得cos（2+）的值，最后通过诱导公式求得答案解答：解：（1）f（x）=3cos2xsin2x+3=2cos（2x+）+3，函数的最大值为2+3，最小正周期T=（2）f（）=2cos（+）+3=3，cos（+）=，cos（2+）=2cos2（+）1=，sin（2）=cos（+2）=cos（2+）=点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质注重了对学生基础公式的灵活运用的考查17（14分）已知不等式x23x+20的解集为A，不等式1的解集为B，不等式x2（a+1）x
17、+a0的解集为C（1）求AB（2）若AC=R，求a的取值范围考点：其他不等式的解法；并集及其运算；交集及其运算 专题：不等式的解法及应用；集合分析：求出集合A、BC，然后求解（1）AB（2）通过AC=R，直接求a的取值范围解答：解：不等式x23x+20的解集为A=x|x2或x1，不等式1的解集为B=，（1）AB=x|0x1（2）A=x|x2或x1，AC=R，不等式x2（a+1）x+a0化为（x1）（xa）0，由数轴可知：a2点评：本题考查不等式的解法，集合的交、并、补的基本运算，基本知识的考查18（16分）已知在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，向量，（1）求角A的大小；（2）若
18、a=3，求ABC面积的最大值考点：三角形中的几何计算 专题：计算题；分类讨论分析：（1）利用题设的表达式利用两角和公式化简整理求得sinA的值，进而求得A（2）利用余弦定理根据（1）中A的值求得bc的最大值，进而利用三角形面积公式求得面积的最大值解答：解：（1）=cosAcosB+sinAsinB，又=sinB+cos（A+B）=，或（2）a2=b2+c22bccosA，当时，b2+c2bc=9bc，；当时，9=b2+c2+bc3bc，故bc3，点评：本题主要考查了三角形的几何计算考查了学生对三角函数基础知识的熟练掌握19（16分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一
19、点B的正北方向的A处建一仓库，并在公路同侧建造一个矩形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，CD=EF+1且ABC=60，设AB=ykm，CF=xkm（1）求y关于x的函数解析式（2）如果中转站四周围墙（即矩形周长）造价为2万元/km，两条道路造价为6万元/km，问：x取何值时，该公司建中转围墙和两条道路总造价M最低？考点：解三角形的实际应用 专题：解三角形分析：（1）根据题意得AB=y且AC=y1，在RtBCF中，BC=2CF=2x然后在ABC中利用余弦定理AC2=AB2+BC22ABBCcosB的式子建立关于x、y的
20、等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式；（2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价M=3+4x然后换元：令x1=t，化简得到M=16t+25，利用基本不等式算出当t=时，M的最小值为49由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值解答：解：（1）AB=y，AB=AC+1，AC=y1在RtBCF中，CF=x，ABC=60，CBF=30，可得BC=2x由于2x+y1y，得x在ABC中，根据余弦定理AC2=AB2+BC22ABBCcosB，可得（y1）2=y2+（2x）22（y1）2xcos60，即（y1）2=y2+4x22x（y1），解得y=y0且x，x1可得y关于x的函数解
21、析式为y=（x1）（2）由题意，可得总造价M=3+4x=3+4x令x1=t，则M=3+4（t+1）=16t+252 +25=49，当且仅当16t=，即t=时，M的最小值为49此时x=t+1=，y=答：当x的值为 时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低点评：本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题20（16分）设a为实数，设函数f（x）=2，设t=（1）求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）（2）若g（t）0恒成立，求实数a的取值范围（3）若存在t使得|g（t）|t成
22、立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）由偶次根式被开方数非负，可得x的范围，将t的式子两边平方，结合二次函数的值域，可得t的范围，进而得到g（t）；（2）由g（t）0恒成立，即有0g（t）min，注意到直线t=是抛物线g（t）=t2+at+3的对称轴，分以下几种情况讨论当即a2时，当2即4a2时，当2即a4时，讨论g（t）的单调性，即可得到最小值，进而得到a的范围；（3）存在t使得|g（t）|t成立，即为|t2+at+3|ttt2+at+3t，即有a1t且a1t在成立，运用函数的单调性求得右边函数的最值，再
23、由存在性问题的解法即可得到a的范围解答：解：（1）t=，要使t有意义，必须1+x0且1x0，即1x1，t2=2+2，t0t的取值范围是由得=t21，g（t）=t2+at+3，t2；（2）由g（t）0恒成立，即有0g（t）min，注意到直线t=是抛物线g（t）=t2+at+3的对称轴，分以下几种情况讨论当即a2时，g（t）在上为递增函数，即有t=时，取得最小值，且为5+a；当2即4a2时，g（t）的最小值为g（）=3；当2即a4时，g（t）在上为递减函数，即有t=2时，取得最小值，且为7+2a则或或，解得a2或2a2或a，则有a2；（3）存在t使得|g（t）|t成立，即为|t2+at+3|ttt2+at+3t，即有a1t且a1t在成立，h（t）=t+在，）递减，在（，2）递增，即有h（t）的最小值为2，最大值为即有a12且a1则实数a的取值范围是（1，12）点评：本题考查换元法的运用，主要考查二次函数的最值的求法，同时考查分类讨论的思想方法，以及不等式恒成立和成立问题的解法，属于中档题和易错题
