1、2013年“华约”自主招生考试数学试题一、已知集合A=,B是A的子集，且B中元素满足下列条件：数字两两不相等，任意两数字之和不等于9.试求：（）B中有多少个两位数？有多少个三位数？（）B中是否有五位数？是否有六位数？（）将B中的元素从小到大排列，第1081个元素是多少？二、已知，求sin(x - y) , cos(x + y)的值三、设k 0，从直线y = kx和y = -kx上分别选取点A(xA , yA) , B(xB , yB) ,使得xAxB 0 ,|OA|OB|=1+k2 ,O为坐标原点，AB的中点M的轨迹为C。（）求C的轨迹方程；（）抛物线x2=2px (p0)与C相切于两点，求证
2、：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程。四、7个红球和8个黑球，从中任取4个。（）求恰好有一个红球的概率（）社四个求中黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望EX。（）求当四个求均为一种颜色时，这种颜色为黑球的概率。五、已知an+1 = an + can2，n = 1 , 2 , 3 , , a1 0 ,c 0， （）对任意的M 0，存在正整数N，使得对于n N，恒有an M；（）设，Sn为bn的前n项和。证明：Sn有界且对d 0，存在正整数k，当n k时，恒有。六、已知x、y、z是三个大于1的正整数，且xyz整除(xy-1)(yz-1)(zx-1)，求x、y、z的所有可能的值。七、已知f(x)=(1-x)ex-1.（）证明：当x 0时，f(x) 0；（）若，x1=1，证明数列xn递减，且.参考答案
