1、双曲线-专项复习【1、基本知识点】双曲线的第一定义：双曲线的第二定义：注意点：（1）双曲线定义中，“距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。 （2）定义中的小于这一限制条件标准方程：【2、几何性质】【 3、弦长公式】1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为，则。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解【4、常见双曲线题型】题型一双曲线定义的应用1、如图所示，在ABC中，已知|AB|=4，且三
2、内角A、B、C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程解：如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(2,0)、B(2 , 0 )由正弦定理得sinA = ，sinB =，sinC =.2sinA+sinC=2sinB，2a+c=2b，即ba=.从而有|CA| |CB|=|AB|=2)【反思感悟】使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即|PF1|PF2|=2a，而|PF1|-|PF2|=2a表示一支2、P是双曲线1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|9，求|PF2|的值解在双曲线1中，a4，b2.故c6.由
3、P是双曲线上一点，得|PF1|PF2|8.|PF2|1或|PF2|17.又|PF2|ca2，得|PF2|17.3、 已知双曲线的左右焦点分别是、，若双曲线上一点P使得,求的面积。题型二由方程研究几何性质4、求双曲线9y216x2144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程解把方程9y216x2144化为标准方程1. 由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3； c5， 焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e； 渐近线方程为yx.【反思感悟】求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式1 (或1)，再根据它确定a，b的值，进而求出c.5若方程1表示双曲线，则实数k的取值范围是()Ak
4、2，或2k5 B2k5 Ck5 D2k5解析由题意知：(|k|2)(5k)5，或2k0，b0)，由题意知c236279，c3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有解得所以双曲线的标准方程为1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，3)所以2a|4，即a2，b2c2a2945，所以双曲线的标准方程为1.方法三若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为1(270，b0)的一条渐近线为ykx (k0)，离心率ek，则双曲线方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析双曲线的渐近线方程可表示为yx，由已知可得k.又离心率ek，所以k.即，故a2b
5、. 答案C10、已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_解析双曲线顶点为(a,0)，渐近线为xy0， 1，a2.又，b， 双曲线方程为y21.题型四求双曲线的离心率11、已知双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为_；12、设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_解析(1)当焦点在x轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，e21， e；当焦点在y轴上时，其渐近线方程为yx，依题意，e21， e.(2)直线l的方程为1，即bxayab0. 于是有c，即abc2.两边平方
6、得16a2b23c4，16a2(c2a2)3c4. 即3c416a2c216a40，3e416e2160.解得e24，或e2， ba0，1， e212，故e24，e2.答案(1)或(2)213、(全国高考)设a1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(，2) B(，) C(2,5) D(2，)解析双曲线方程为1， c.e. 又a1，01.112. 124.e. 答案B题型五直线与双曲线14、直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l在y轴上的截距m.解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由韦达定
7、理，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)， |AB|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)2 5(x1x2)24x1x25m24(m22)|AB|4，m26(m22)16. 3m270，m. 直线l在y轴上的截距为.题型六直线与双曲线的位置关系16、已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试讨论实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点解由消去y，得(1k2)x22k2xk240(*)(1)当1k20，即k1，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x5，故此方程
8、(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点(2)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点即k时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点即k或k时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点综上所述，当k1或1k1或1k时，直线与双曲线有两个公共点当k1或k时，直线与双曲线有且只有一个公共点当k或k时，直线与双曲线没有公共点【反思感悟】讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，但要注意
9、转化的等价性17、过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，这样的直线有()A1条B2条 C3条 D4条解析右焦点坐标为(，0)，把x代入双曲线方程得：y2，即当直线过右焦点垂直于x轴时，l与双曲线交的弦长|AB|4，当l与x轴重合时，|AB|2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB|4，故选C.知识点七、焦点三角形问题18、F1、F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF290，则F1PF2的面积是()A2 B4 C8 D16解析方程变形为y21，由题意由式两边平方得：202|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|84.
