1、利用导数研究函数的零点(求导求出极值,画出函数的草图分析)1.已知曲线C:,直线(1)若直线与曲线C有唯一一个交点,求的取值范围;(或)(2)若直线与曲线C有两个不同的交点,求的取值范围;(或)(3)若直线与曲线C有三个不同的交点,求的取值范围.()解:令得或当时,;当或时,.所以在为减函数,在,为增函数. 当时,取得极大值;当时,取得极大值;(1)当或时,直线与曲线C有唯一一个交点;(2)当或时,直线与曲线C有两个不同的交点;(3)当时,直线与曲线C有三个不同的交点.2.已知函数(1)函数的单调区间;(2)若在处取得极值,直线与的图象有三个不同的交点,求的取值范围.(-3,1)解: (1)f
2、(x)3x23a3(x2a),当a0,当a0时,由f(x)0,解得x.由f(x)0,解得x0时,f(x)的单调增区间为(,),(,),单调减区间为(,)(2)f(x)在x1处取得极值,f(1)3(1)23a0,a1.f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0,解得x11,x21.由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x1处取得极大值f(1)1,在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图象可知:实数m的取值范围是(3,1)3.已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若过点可作函数图像的三条不同切线,求实数的取值范围.解
3、:(1)当a3时,函数f(x)-x3+2x,得f(x)x23x2(x1)(x2)所以当1x2时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x1或x2时,f(x)0,函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(,1)和(2,) .(2)设点P是函数yf(x)图象上的切点,则过点P的切线的斜率kf(t)t2at2,所以过点P的切线方程为y(t2at2)(xt),因为点在该切线上,所以(t2at2)(0t),即.若过点 可作函数yf(x)图象的三条不同切线,则函数g(t)有三个不同的零点即函数yg(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点令g(t)2t2at0,解得t0或
4、t .因为g(0)0, 所以必须,即a2.所以实数a的取值范围为(2,)4.(2012江苏)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点,已知是实数,1和-1是函数的两个极值点.(1)求和的值;()(2)设函数的导函数,求的极值点;(-2是1不是)(3)设,其中,求函数的零点的个数.(当时,函数有5个零点;当时,函数有9个零点)解: (1)由题设知f(x)3x22axb,且f(1)32ab0,f(1)32ab0,解得a0,b3.(2)由(1)知f(x)x33x. 因为f(x)2(x1)2(x2),所以g(x)0的根为x1x21,x32,于是函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时,g(
5、x)0;当2x0,故2是g(x)的极值点当2x1时,g(x)0,故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.(3)令f(x)t,则h(x)f(t)c.先讨论关于x的方程f(x)d根的情况,d2,2当|d|2时,由(2)可知,f(x)2的两个不同的根为1和2,注意到f(x)是奇函数,所以f(x)2的两个不同的根为1和2.当|d|0,f(1)df(2)d2d0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)f(2)2,此时f(x)d无实根同理,f(x)d在(,2)上无实根当x(1,2)时,f(x)0,于是f(x)是单调增函数又f(1)d0,yf(x)d的图象不间断,所以f(x)d在(1,2)内有唯一
6、实根同理,f(x)d在(2,1)内有唯一实根当x(1,1)时,f(x)0,f(1)d0,yf(x)d的图象不间断,所以f(x)d在(1,1)内有唯一实根由上可知:当|d|2时,f(x)d有两个不同的根x1,x2满足|x1|1,|x2|2;当|d|2时,f(x)d有三个不同的根x3,x4,x5满足|xi|2,i3,4,5.现考虑函数yh(x)的零点(i)当|c|2时,f(t)c有两个根t1,t2满足|t1|1,|t2|2,而f(x)t1有三个不同的根,f(x)t2有两个不同的根,故yh(x)有5个零点(ii)当|c|2时,f(t)c有三个不同的根t3,t4,t5满足|ti|2,i3,4,5,而f
7、(x)ti(i3,4,5)有三个不同的根,故yh(x)有9个零点综上可知,当|c|2时,函数yh(x)有5个零点;当|c|0. 当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表:x(,1)1(1,a)a(a,)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(,1),(a,);单调递减区间是(1,a)(2)由(1)知f(x)在区间(2,1)内单调递增,在区间(1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点. 当且仅当 解得0a0,并由x0,解得x1.令h(x)0,解得0x0且x1时,h(x)0,h(x)0在(0,)上只有一个解即当x0时,方程f(x)g(x)2有唯一
8、解7. 已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)若方程在区间上有两个不等的实数解,求实数的取值范围.解:(1)F(x)ax22ln x,其定义域为(0,),F(x)2ax (x0)当a0时,由ax210,得x.由ax210,得0x0时,F(x)的递增区间为,递减区间为.当a0时,F(x)0)恒成立故当a0时,F(x)在(0,)上单调递减(2)a1,由g(x)0,得x3;由g(x)0,得1x3. g(x)在区间2,3上单调递减,在区间3,4上单调递增故f(x)x23xa0在区间内恰有两个相异实根即解得2ln 35a0,在上单调递增;当时, 1函数 的单调增区间为(3)=2x+lnx设过点(2,5)与曲线g (x)的切线的切点坐标为即 令h(x)=0h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,)上单调递增又,h(2)=ln2-10,h(x)与x轴有两个交点过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线. 19、已知是函数的一个极值点。(1)求a(2)求函数的单调区间;(3)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。(1)解:2分4分 (2)当令6分(1,1)1(1,3)3+00+极大值极小值由上表可知,的单调递增区间为,其单调减区间为(1,3)9分 (3)由(2)知10分若直线的图象有3个交点,则13