1、教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center姓名 学生姓名 填写时间 学科数学年级高三教材版本人教版阶段第（ 9 ）周 观察期： 维护期：课题名称三角恒等变换课时计划第（ ）课时共（ ）课时上课时间 教学目标大纲教学目标1、巩固两角和、差的正弦、余弦和正切及二倍角公式2、推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.3、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式个性化教学目标学生知识点综合能力的训练教学重点1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析
2、式教学难点1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式教学过程第一部分：知识点分析一、回顾公式1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_cos()cos_cos_sin_sin_tan()2二倍角的公式sin 22sin_cos_cos 2cos2sin22cos2112sin2tan 23有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)(2)cos2，sin2(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4归一公式
3、函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().二、函数yAsin(x)的图象及应用1“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象2函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径3函数yAsin(x)的物理意义当
4、函数yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相第二部分：考点分析高频考点一 归一公式应用例1：（1）； ； ； 【变式练习1】（1）。求它的递减区间；求它的最大值和最小值（2）已知函数（其中），求：函数的最小正周期; 函数的单调区间;函数图象的对称轴和对称中心（3）设函数f(x)(sinxcosx)22cos2x(0)的最小正周期为.求的值；若函数yg(x)的图像是由yf(x)的图像向右平移个单位长度得到的，求yg(x)的单调增区间解析(1)f(x)(sinxcosx)22cos2xsin2xcos2x2sinxcosx1c
5、os2xsin2xcos2x2sin(2x)2， 依题意得，故的值为.(2)依题意得g(x)sin2sin2，由2k3x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故yg(x)的单调增区间为(kZ)高频考点二 三角函数式的化简与给角求值【例2】（1）=_（2）若，则等于 （ ）（A）（B）（C）（D）(3)已知，求值 (4)已知(0，)，化简：_(5)2sin 50sin 10(1tan 10)_【答案】(4)cos (4)【解析】(1)原式.因为0，所以0，所以cos 0，所以原式cos .(2)原式sin 80(2sin 502sin 10)cos 102sin 50cos 10sin 10cos(
6、6010)2sin(5010)2.【点拨】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值【变式练习2】(1)4cos 50tan 40()A. B. C. D21(2)化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2_【答案】(1)C(2
7、)【解析】(1)原式4sin 40，故选C.(2)法一(从“角”入手，复角化单角)原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.法二(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos2cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)cos 2cos 2cos2cos 2(sin2cos 2)cos 2.法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式cos 2cos 2
8、(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2cos2()sin 2sin 2cos 2cos 2cos2()cos(22)cos2()2cos2()1.高频考点三 三角函数的给值求值、给值求角【例3】（1）已知，是第三象限角，求的值.（2）已知sin(30)，60150，求cos的值(3)已知0，且cos，sin，求cos()的值；(4)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的
9、值【答案】（2） (3) ；(4) .【解析】（2）方法二：把30看作整体，可求cos(30)的值60150，9030180.sin(30)，cos(30).sin(30)sin30coscos30sincossin，cos(30)cos30cossin30sincossin.由，得cos. (3)0， ， 0，又(0，)00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.【点拨】(1)解题中注意变角，如本题中；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选
10、余弦较好；若角的范围为，选正弦较好【变式练习3】已知cos，cos()，且0，(1)求tan 2的值；(2)求.【答案】（1）；（2）【解析】(1)cos ，0，sin ，tan 4，tan 2.(2)0，0，sin()，cos cos()cos cos()sin sin().高频考点四 三角变换的简单应用【例4】已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.【答案】(1) A3. (2) .【解析】(1)由f，得AsinAsin A，所以A3.(2)由f()f()3sin3sin36sin cos 3sin ，sin .，cos ，f3sin3sin3co
11、s .【点拨】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等【变式练习4】已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值【答案】（1），kZ.（2）或.【解析】(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，有sincos(
12、cos2sin2)，所以sin cos cos sin(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知2k，kZ.此时cos sin .当sin cos 0时，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin 0， 此时cos sin .综上所述，cos sin 或.高频考点五 三角函数的定义域、值域【例5】(1)函数y的定义域为_(2)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1【答案】(1)x|xk且xk，kZ(2)A【解析】(1)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为x|x
13、k且xk，kZ(2)0x9，x，sin.y，ymaxymin2.【点拨】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)【变式练习5】(1)函数y的定义域为_(2)函数ysin xcos
14、 xsin xcos x的值域为_【答案】(1)(2)【解析】(1)法一要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为.法三sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ.所以定义域为.(2)设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin
15、xcos x，且t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.高频考点六 三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例6】(1)已知0，0，直线x和x是函数f(x)sin(x)的图象的两条相邻的对称轴，则()A. B. C. D.(2)函数y2cos21是()A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数【答案】(1)A(2)A【解析】(1)2，即1，f(x)sin(x)，fsin1.0，.(2)y2cos21cossin 2x为奇函数，最小正周期T.【点拨】(1)求f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令xk(kZ)，求
16、x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)即可(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，则最小正周期为T；奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsin x或yAcos xb的形式【变式练习6】(1)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.(2)若函数f(x)sin (0，2)是偶函数，则()A. B. C. D.【答案】(1)A(2)C【解析】(1)由题意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.(2)由已知f(x)sin 是偶函数，可得k，即3k(kZ)，又0，
17、2，所以.高频考点七 三角函数的单调性【例7】(1)已知f(x)sin，x0，则f(x)的单调递增区间为_(2)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0，2【答案】(1)(2)A【解析】(1)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.又x0，所以f(x)的单调递增区间为.(2)由x得x，由题意知，故选A.【点拨】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明
18、确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷【变式练习7】函数f(x)sin的单调减区间为_【答案】(kZ)【解析】由已知函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的减区间为(kZ)高频考点八 函数yAsin(x)的图象及变换【例8】设函数f(x)sin xcos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而
19、得到【解析】(1)f(x)sin xcos x22sin，又T，即2.f(x)2sin.函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象；再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象法二将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图象；再将y
20、sin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y2sin的图象【点拨】作函数yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”【变式练习8】设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作
21、出函数f(x)在0，上的图象【解析】(1)T，2，又fcos，sin ，又0，.(2)由(1)得f(x)cos，列表：2x0x0f(x)1010图象如图高频考点九 由图象求函数yAsin(x)的解析式【例9】函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_【答案】f(x)sin【解析】由题图可知A，法一，所以T，故2，因此f(x)sin(2x)，又对应五点法作图中的第三个点，因此2，所以，故f(x)sin.法二以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)sin.【点拨】已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图
22、得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)五点法，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求【变式练习9】函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f的值为_【答案】1【解析】由三角函数图象可得A2，T，所以周期T，解得2.又函数图象过点所以f2sin2，0，解得，所以f(x)2sin，f2sin1.高频考点十函数yAsin(x)的
23、性质应用【例10】 已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻最高点的距离为.(1)求f的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，得到yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间【答案】（1）；（2）(kZ)【解析】(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ，因为，所以k0，所以，所以f(x)sin，则fsinsin .(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，所以g(x)fsinsin.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，g(x)单调递减因此g(x)的单调递减区间为(kZ)【点拨】函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把x看做一个整体在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想【变式练习10】已知函数f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值【解析】(1)f(x
