1、第2讲不等式与线性规划考情解读(1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题1四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形0(0(1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0aag(x)f(x)1时，
2、logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；当0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2五个重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(a0，b0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a0，b0)3二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值4两个常用结论(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条
3、件是热点一一元二次不等式的解法例1(1)(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为_(2)已知函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)单调递增，则f(2x)0的解集为_思维启迪(1)利用换元思想，设10xt，先解f(t)0.(2)利用f(x)是偶函数求b，再解f(2x)0.答案(1)x|xlg 2(2)x|x4解析(1)由已知条件010x，解得x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法(1)不等式0的解集为_(2)已知p：x0R，mx10，q：xR，x
4、2mx10.若pq为真命题，则实数m的取值范围是_答案(1)(，1(2)(2,0)解析(1)原不等式等价于(x1)(2x1)0或x10，即x1或x1，所以不等式的解集为(，1(2)pq为真命题，等价于p，q均为真命题命题p为真时，m0；命题q为真时，m240，解得2m2.故pq为真时，2m0，且1.所以()2(当且仅当，即m，n2时，取等号)所以，即mn3，所以mn的最大值为3.(2)2x2(xa)2a22a42a，由题意可知42a7，得a，即实数a的最小值为.热点三简单的线性规划问题例3(2013湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和
5、60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为_元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案36 800解析设租A型车x辆，B型车y辆时，租金为z元，则z1 600x2 400y，且x，y满足画出可行域如图，直线yx过点A(5,12)时纵截距最小，所以zmin51 6002 4001236 800，故租金最少为36 800元思维升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形
6、结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数(1)已知实数x，y满足约束条件，则w的最小值是_(2)(2013北京)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是_答案(1)1(2)解析(1)画出可行域，如图所示w表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，1)连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为1.(2)当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域
7、边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m.1几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等
8、技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可3线性规划问题的基本步骤(1)定域画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；(3)求值利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟1(2014山东改编)已知实数x，y满足axay(0a； ln(x21)ln(y21)；sin xsin y; x3y
9、3.答案解析因为0a1，axy.采用赋值法判断，中，当x1，y0时，1，不成立中，当x0，y1时，ln 10，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1a.押题精练1为了迎接2015年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P3，已知生产该产品还需投入成本(102P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4)万元/万件，则促销费用投入_万元时，厂家的利润最大？答案1解析设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2()万元，所以y2()P102Px16x(x0)，所以y17(x1)17213(当且仅当x1，即x1
10、时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大2若点P(x，y)满足线性约束条件点A(3，)，O为坐标原点，则的最大值为_答案6解析由题意，知(3，)，(x，y)，则3xy.令z3xy，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线yxz经过点B时，z取得最大值由解得即B(1，)，故z的最大值为316.即的最大值为6.3如果关于x的不等式f(x)0和g(x)0的解集分别为(a，b)，(，)，那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x24xcos 220与不等式2x24xsin 210为“对偶不等式”，且(，)，则_.答案解析由题意可知ab2，ab4cos 2，2sin 2，即2sin
11、2，2cos 22sin 2，tan 2.(，)，2(，2)，2.(推荐时间：50分钟)一、填空题1函数f(x)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是_答案x|x1解析当x1时，原不等式可化为x(x1)(x)1，解得x21恒成立，所以xlg x(x0)；sin x2(xk，kZ)；x212|x|(xR)；1(xR)答案解析应用基本不等式：x，y0，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故不正确；运用基本不等式时需保证“一正、二定、三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故不正确；由基本不等式可知，正确；
12、当x0时，有1，故不正确3(2013重庆改编)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.答案解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(2014重庆改编)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是_答案74解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，当且仅当时取等号5已知变量x，y满足约束条件，则zx2y1的最大值为_答案8解析约束条件所表示
13、的区域如图，由图可知，当目标函数过A(1,4)时取得最大值，故zx2y1的最大值为12418.6已知f(x)是R上的减函数，A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1ln x)|1的解集是_答案(，e2)解析|f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)，又f(x)在R上为减函数，01ln x3，1ln x2，x0，则的最小值为_答案解析点A(1,1)在直线2mxny20上，2mn2，又mn0，m0且n0.()(21)(32)，当且仅当，即nm时取等号，的最小值为.二、解答题9设集合A为函数yln(x22x8)的定义域，集合B为函数yx的值域，集
14、合C为不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范围解(1)由x22x80，得4x0，即x1时，y211，此时x0，符合要求；当x10，即x0时，Cx|4x，不可能CRA；当a0时，Cx|x4或x，若CRA，则2，a2，a0.故a的取值范围为，0)10已知函数f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且0x11x20；(2)若za2b，求z的取值范围(1)证明求函数f(x)的导数f(x)ax22bx2b.由函数f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，知x1，x2是f(x)0的两个根，所以f(x)a(xx1)(xx2)当x
15、0，由xx10，xx20.(2)解在题设下，0x11x22等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：2b0，a3b20,4a5b20所围成的ABC的内部，其三个顶点分别为A，B(2,2)，C(4,2)z在这三点的值依次为，6,8.所以z的取值范围为(，8)11某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C3x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x的函数关系式S已知每日的利润LSC，且当x2时，L3.(1)求k的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值解(1)由题意可得L因为当x2时，L3，所以3222，解得k18.(2)当0x6时，L2x2，所以L2(x8)182(8x)182186，当且仅当2(8x)，即x5时取得等号当x6时，L11x5.所以当x5时，L取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元
