1、历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析（三）题21 若，且，则的最小值是 .（第一届高二第一试第20题）解法1 比较：当时，当且仅当时取等号.可见，当且仅当时取等号.解法2 .令且，即，即.可证函数在上单调递减，时，.即当 时，.解法3 令，则（当且仅当时取等号）.又.由，易得（当且仅当时取等号）.于是 （时取等号）.故当，即时，.评析 解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于、时，当且仅当时取等号，所以解法2将展开成后，只能对使用上述公式（因为，所以必须使时取等号）.若
2、也对使用上述公式就错了，因为由，得，此时与并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.与不可能相等时，通常运用函数的单调性求的最小值（易证函数在上单调减，在上单调增）.解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用.拓展 命题“若且，则”可作如下推广：推广1 若且则.证明 ，当且仅当时取等号.又在及上都是减函数， 当且仅当时取等号.（当且仅当时取等号）.推广2 若，则.推广3 若，则.推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略.题22 已知，且，则的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题)解法1 .当且仅当时取等号.解法2 =9，当且仅当，
3、即时取等号. .解法3 ，当且仅当，即时取等号. .评析 求条件最值离不开利用条件.如何利用条件？解法1把展开后将用1代，解法2与3将与中的1用代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展 此题可作如下推广：推广1 若，且，则的最小值是.证明，于是，当且仅当时取等号，的最小值是.推广2 若，且，则的最小值是.证明 ，.同理.故 ，当且仅当时取等号. 的最小值是.推广3 若，且，则的最小值是.证明 由均值不等式得，,从而，当且仅当时取等号.故的最小值是.推广4 若，且，则的最小值为.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习：1、 已知，且，求：（1）的最小值；
4、（2）的最小值；（3）的最小值.2、已知，且，求的最小值.3、已知，且，求的最小值.4、求的最小值.(提示：，原式.)5、已知，且，求的最小值.答案：1、（1）18 （2） （3）9 2、64 3、 4、9 5、题23 设，且，则的最大值是 ，最小值是 （第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）解法1 ，由，有，记，立得和故当或时，当时，解法2 由题意，设则，当且仅当且，即时取等号又令，则易知当时，此时，即或时，关于的最大值，还有下列解法解法3 ，当且仅当时取等号解法4 ，又，当且仅当时取等号故.评析 解法2由考虑到三角换元，这是很自然的事解法3运用基本不等式及，再由，分别求出与
5、的最大值（注意：必须是与取相同值时与同时取得最大值），从而得到的最大值解法4与解法3路子不同，实质一样但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点解法1中将变形为，并由已知得出，是突破这一难点的关键第九届高二第一试第15题：“实数适合条件，则函数的值域是 ”其形式与实质都与本题一样以三角代换法求解最为简捷（答案为）拓展 由题引伸，可以得到：定理1 设，则（1）当时，；（2）当时，证明 设，则又设， ，则1、当，即时，（1），当且仅当时取等号（2），当且仅当时取等号2、当，即时（1）当时，（2）当时，又函数，当时是减函数，故综上所述，当时，；当时，进一步引伸，可得定理2 ，若
6、，则（1）当时，；（2）当时，简证 令，再由定理1即可得证再引伸，还可得到定理3 设，且，则有 证明 及平均值不等式题24 若，则的最大值是（第十三届高二培训题第68题）解法1 引入参数t,，又，考虑到待求最值的二元式是，故令，解得或（舍去），故只需令，即可得因此，当且仅当，即时取等号.解法2 已知条件式即.令即代入待求式,并化简,得.故当且仅当时，有最大值160解法3 令.从而有即代入已知等式,得,即解法4 ,而即解法5 设代入条件得令,则 解法6 设则即.由题设x,y不同时为0,故不妨设,则将式两边同除以,得当时,由解得;当时,综上, .故解法7 .故当时, 评析 破解此题的关键是消去条件
7、式中的xy项.命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy变形为,再运用基本不等式,从而得到.而要求的是的最大值,故令,从而使问题获解,极其巧妙.此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法解法2将变为，从而为三角代换创造了条件，进而运用三角函数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy项时同样适用解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中项与项系数相等时这也是一种通法解法4的技巧性特强.要知道,若,由,得,即,则仍然不能解决问题解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个
8、题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:例1 若x,y, 则的最小值是_ （第十届高二培训题第66题）解 ，即，当且仅当时取等号，故所求最小值为再看一例：例2 实数x,y适合,则函数的值域是 (第九届高二第一试第15题)解 （1）（2）故所求值域为到底如何配方，读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好请用配方法解决下列问题:1.实数x,y满足,则的值域是 （答：） (第六届高二第二试第17题) 2.若,且,则的取值范围是 （答：）3.已知x,y满足,求的取值范围（答：）4.已知,求表达式的最大值与最小值（
9、答：）题25 函数的最大值是（第九届高二培训题第43题）解法1 由，得，即，.，解得.故.解法2 令，则，化为，即，解得.故.解法3 由，得（时取等号），故.解法4 .，.当时，.解法5 由，得，解得.解法6 .令，它表示动点与定点的连线的斜率，即表示单位圆上的点与点的连线的斜率，由图易知，.解法7 显然，.由得，又.由、可知点是坐标系中的直线与圆的公共点，圆心到直线的距离不大于圆的半径1，即，解之得，. 评析 类似本题分子、分母中含有、的一次式的函数的最值问题，总可以通过去分母、移项变为的形式，进而变为（其中）的形式，再由求得最值，解法1正是这样做的，也是解决这类问题的通法. 万能公式可将角
10、的各种三角函数表示成的正切，这在实质上起到了消元的作用.故解法2令后，便将原函数转化成的二次分式函数，进而运用判别式法解决了问题.解法3直接利用分子不大于分母，从而分式之值不大于1，简捷之至.解法4则是将已知函数变为后，分别求出分子、分母的范围，进而确定y的范围.解法5将已知函数式变为，考虑到左边的形式，联想到柯西不等式，巧妙地利用而建立了关于的不等式，进而求出最大值，可说是匠心独具.解法7将已知函数式变为后，将看作坐标系中直线上的点，而点又在单位圆上，故直线与圆应有公共点，从而圆心到直线的距离不大于圆的半径，由此求出了的最大值.综合运用了方程思想，转化思想，数形结合思想，充分揭示了数学不同内
11、容之间的内在联系.解法6则是把已知函数式变形为后，将看作单位圆上的点与定点的连线的斜率，故将求的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题，本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到，若不能直观地看出，则可设斜率为，写出过点且斜率为的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出的最大值.解法6也是求函数或的最值的通法.例 求函数的最值解 .令，则是单位圆上的点与点的连线的斜率.设此斜率为，则连线的方程为，即.由单位圆圆心到直线的距离应当不大于单位圆半径1，即，解得，即的最小值与最大值分别为，从而的最大值与最小值分别为、,即，.题26 函数的值域是.（第十一届高二培训题第46题）解法1 由均值定理，
12、知两式相加，得.当时以上不等式同时取等号.故.又.故所求值域为.解法2 由柯西不等式，知.又由，知.故所求值域为.解法3 ，又解法4 ，且可设，由所设，故当时，；当时，所求值域为.评析 因为，所以 ，由指数函数单调性，易知，故求得了y的最大值1.如何求y的最小值是本题的难点，破解的关键在于如何将降次，最好直接与建立联系.解法1运用均值定理，解法2运用柯西不等式，都达到了目的，解法3与解法1为同一解法，但显得格外简捷，运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决，起到了化难为易的作用.解法3显得特别优美，但运用均值定理，必须注意配凑技巧
13、的运用.为什么将配凑成呢？这里有两个问题：一是为什么各凑成6项的和？二是为什么都加5个？原因就在于只有凑成6项的和，运用均值定理时才会出现六次根号内与5个数的积，从而才会出现（常数）.至于为什么各加5个，是因为运用均值定理时要使两处的“”中都取等号，必须，而只有时才会有.拓展 仿照解法3，我们可以证明下面的定理 函数的值域是.证明 .又，即.故函数的值域为. 据此定理，我们易知函数的值域为.题27 设，则的最小值是 （第九届高二培训题第53题）BA解 可从绝对值的几何意义上去想，以为例，如图： 1 2 3 4所给的式子的几何意义是数轴上坐标为的点N与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和显然，
14、当N在线段AB之外时，和大于N在线段AB上时的和；当N在线段AB上时，N接近AB的中点，和就逐渐变小，N重合于AB的中点时，和达到最小因为，所以当取2或3时，最小对于和式S=，设数轴上的点A、B分别表示1949、2001，则线段AB的中点的坐标是评析 本题运用了数形结合的思想方法，根据两数差的绝对值的几何意义，很直观地解决了问题拓展 运用同样的思想方法，可以得到下面的定理1 对于函数，若是奇数，则当时，取得最小值；若是偶数，则当时，取得最小值例1 求函数的最小值解 为偶数，-43710,当时，取得最小值（7+10）-（-4+3）=18.例2 求函数的最小值解 为奇数，-10-5360,则(是公
15、差).由此，得.又知=.，选B.评析 显然是数列的前项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到，于是将变为，再放大为，或缩小为，便使问题获解.这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。但用“放缩法”解题，必须把握好放缩的“度”.就以此题为例，若将，就得，这样就没法确定到底是1998还是1999了.若做到这里，我们便应考虑到题中的1不作变形，问题就会得到解决.此题来源于高中代数下册（必修）P132第33题：用数学归纳法证明，.1992年全国高考“三南”试题：证明不等式：.这两个结论合起来就有.此结论就是.当时，A、B、C三个选择支都合适，要正确选择答案，必
16、须对的上、下界作更精确的估计.事实上，由，得.按常规，令，得个式子，再相加，得.取，得=1998或1999，没法确定选B还是选C.故令，得个式子，再相加，得.取，得.由于，1998，即.,故选B.运用这种放缩思想，同样可以解决第十三届高二培训题第26题：的整数部分是 .解 ，即.取，得49个式子，并相加，得.显然在8与9之间，故.拓展 将题中改为，得推广1 当为大于1的自然数时，的整数部分是.推广2 当为大于1的自然数时，的整数部分是.证明 ，令相加得,即,的整数部分是. 由于.同理, ,故又得推广3 当、为大于1的自然数时，的整数部分是.题 29 求函数的最小值和取最小值时的值 （第十三届高
17、二培训题第81题）y= -1xODM12NPyAx2=4y解法1 改写为,改写为，则 .因而等于动点到两个定点和的距离之和的倍.动点的轨迹是抛物线，恰好是它的焦点，准线是.因此（到准线的距离）. .所以.此时.即时, 取得最小值12.解法2 由已知函数式，得，两边平方并整理，得，看作关于的方程，由，知，即，得或，因为，即，故舍去，只取：，将代入已知函数式，得，即当且仅当时，有最小值.解法3 因为故当且仅当时，有最小值.解法4 因为，所以设，则，故当且仅当时，有最小值.评析 高中数学课本中并未讨论过求题中函数最值的通法，因此，必须灵活运用所学知识设法解决问题，化生为熟是关键！上述四种解法都是运用
18、转化思想解决问题的.解法1转化为两点距离问题，解法2转化为二次函数问题，解法3、4分别转化为复数模，向量模的问题，而转化后的问题都是我们所熟悉的问题，也可见，化生为熟的同时，问题也由难变易了.题30 函数的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题)解法1 由,得.显然,当时,当时,.又因为,所以. 解法2 因为，所以故.又xyO22所以解得或（舍去），所以解法3 注意到设,则有,即.问题转化为在直角坐标系中,过圆弧上的点且斜率为-1的直线在轴上的截距的最值.如图所示,显然有 解法4 因为所以可设,则有所以 解法5 易求得已知函数的定义域为因为，所以所以故已知函数的图象关于直线对称,从而只需求出函数在闭区间上的最大值与最小值即可.由,得令,得或(舍去).当时,当时, 所以当时,又评析无理函数的最值问题除用导数直接求解外，一般没有固定的初等方法求解，主要靠 抓住具体函数的特征，再采取相应措施解决问题.换元,转化是常用的思想方法. 本题函数的主要特征是两个根号内的与互为相反数,因而解法1将函数式两边平方后得,解决了问题.解法2运用基本不等式直接得到.注意到解法3通过换元,将原问题转化为解析几何问题直观地解决问题;解法4则通过三角换元,将原函数转化为 形式的函数,运用三角函数的有界性解决问题.形形色色的解法体现了本题蕴含着丰富的数学思想.
