1、2005年全国1卷高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1S2S3=I，则下面论断正确的是（）ACIS1（S2S3）=BS1（CIS2CIS3）CCIS1CIS2CIS3）=DS1（CIS2CIS3）2（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）AB8CD43（5分）已知直线l过点（2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）ABCD4（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，
2、EF=2，则该多面体的体积为（）ABCD5（5分）已知双曲线y2=1（a0）的一条准线与抛物线y2=6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）ABCD6（5分）当0x时，函数的最小值为（）A2BC4D7（5分）设b0，二次函数y=ax2+bx+a21的图象为下列之一，则a的值为（）A1B1CD8（5分）设0a1，函数f（x）=loga（a2x2ax2），则使f（x）0的x的取值范围是（）A（，0）B（0，+）C（，loga3）D（loga3，+）9（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=（x，y）|x+y1，且x0，y0，则平面区域B=（x+y，xy）|（x，y）A的面积为（）A2B1
3、CD10（5分）在ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：tanAcotB=1，1sinA+sinB，sin2A+cos2B=1，cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）ABCD11（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A18对B24对C30对D36对12（5分）复数=（）AiBiC2iD2+i二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）若正整数m满足10m1251210m，则m=_（lg20.3010）14（4分）的展开式中，常数项为_（用数字作答）15（4分）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m=_16（4分
4、）在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则：四边形BFDE一定是平行四边形；四边形BFDE有可能是正方形；四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形；平面BFDE有可能垂直于平面BBD以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）设函数f（x）=sin（2+）（0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线（）求；（）求函数y=f（x）的单调增区间；（）证明直线5x2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切18（12分）已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=
5、DC=，AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小19（12分）设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0（n=1，2，）（）求q的取值范围；（）设，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小20（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望（精确到0.01）21（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，
6、斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，1）共线（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明2+2为定值22（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.589.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励2005年全国1卷高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）考点：交、并、补
7、集的混合运算菁优网版权所有分析：根据公式CU（AB）=（CUA）（CUB），CU（AB）=（CUA）（CUB），容易判断解答：解：S1S2S3=I，CIS1CIS2CIS3）=CI（S1S2S3）=CII=故答案选C点评：本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式CU（AB）=（CUA）（CUB），CU（AB）=（CUA）（CUB）是一个重要公式，应熟记2（5分）考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算菁优网版权所有专题：计算题分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积解答：解：球的截面圆的半径为：=r2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4R2=4=8故选B点评：
8、本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题3（5分）考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率菁优网版权所有分析：圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围解答：解：直线l为kxy+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故故选C点评：本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，是基础题4（5分）考点：组合几何体的面积、体积问题菁优网版权所有专题：计算题分析：该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积解答：解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2，底面三角形的底为1，高为：其体积为：，割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A点评：本题考查学生的
9、空间想象能力，几何体的添补，是基础题5（5分）考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题分析：先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程，然后让二者相等即可求得a，进而根据c=求得c，双曲线的离心率可得解答：解：双曲线的准线为抛物线y2=6x的准线为因为两准线重合，故=，a2=3，c=2该双曲线的离心率为=故选D点评：本题主要考查了双曲线和抛物线的简单性质考查了对抛物线和双曲线的综合掌握6（5分）考点：三角函数的最值菁优网版权所有专题：计算题分析：利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx0，最后利用均值不等式求得函数
10、的最小值解答：解：=0x，tanx0当时，f（x）min=4故选C点评：本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值考查了学生知识的迁移能力，综合运用基础知识的能力7（5分）考点：函数的图象菁优网版权所有专题：压轴题；数形结合分析：根据题中条件可先排除前两个图形，然后根据后两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据抛物线的开口方向就可确定a的值解答：解：b0抛物线对称轴不能为y轴，可排除掉前两个图象剩下两个图象都经过原点，a21=0，a=1当a=1时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左方，第四个图象也不对，a=1，故选B点评：本题考查了抛物线的图形和性质，做题时注意题中条件的利用8（5分）
11、考点：对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题分析：结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0a1，loga（a2x2ax2）0时，有a2x2ax21，解可得答案解答：解：设0a1，函数f（x）=loga（a2x2ax2），若f（x）0则loga（a2x2ax2）0，a2x2ax21（ax3）（ax+1）0ax30，xloga3，故选C点评：解题中要注意0a1时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误9（5分）考点：二元一次不等式（组）与平面区域；对数的运算性质菁优网版权所有专题：计算题；作图题分析：求平面区域B=（x+y，xy）|（x，y）A的面
12、积为可先找出B中点的横纵坐标满足的关系式，故可令x+y=s，xy=t，平面区域A=（x，y）|x+y1，且x0，y0得出s和t的关系，画出区域求面积即可解答：解：令x+y=s，xy=t，由题意可得平面区域B=（s，t）|s1，s+t0，st0，平面区域如图所示SOAB=212=1故选B点评：本题考查对集合的认识、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，以及转化思想、作图能力10（5分）考点：三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90进而求得tanAcotB=tanA
13、tanA等式不一定成立，排除；利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，正确；sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除；利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90可知sinC=1，进而可知二者相等正确解答：解：tan=sinC=2sincos整理求得cos（A+B）=0A+B=90tanAcotB=tanAtanA不一定等于1，不正确sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45）45A+45135，sin（A+45）1，1sinA+sinB，所以正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，
14、sin2C=sin290=1，所以cos2A+cos2B=sin2C所以正确sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故不正确综上知正确故选B点评：本题主要考查了三角函数的化简求值考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力11（5分）考点：棱柱的结构特征；排列、组合的实际应用；异面直线的判定菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可解答：解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对上下两个底边
15、三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对加在一起就是36对（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）故选D点评：本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，排列组合的实际应用，是难题12（5分）考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：压轴题分析：两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，复数的乘法按多项式乘以多项式的方法进行解答：解：复数=i，故选 B点评：本题考查2个复数相除、相乘的方法，注意虚数单位的幂运算性质二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）考点：指数函数的单调性与特殊点；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异
16、菁优网版权所有专题：计算题分析：利用题中提示lg20.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可解答：解：10m1251210m，取以10为底的对数得lg10m1lg2512lg10m，即m1512lg2m又lg20.3010m1154.112m，因为m是正整数，所以 m=155故答案为 155点评：本题考查了利用指数形式和对数形式的互化熟练掌握对数的性质对数的运算性质是解决本题的关键14（4分）考点：二项式系数的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：利用二项式定理的通项公式Tr+1=Cnranrbr求出通项，进行指数幂运算后令x的指数幂为0解出
17、r=6，由组合数运算即可求出答案解答：解：由通项公式得Tr+1=C9r（2x）9r=（1）r29rC9rx9r=（1）r29rC9r，令9=0得r=6，所以常数项为（1）623C96=8C93=8=672故答案为672点评：本题主要考查二项式定理的通项公式的应用，并兼顾了对根式与指数幂运算性质的考查，属基础题型15（4分）考点：向量的加法及其几何意义；三角形五心菁优网版权所有专题：压轴题；数形结合分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得=+，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用、和表示出来为止解答：解：如图：作直径BD，连接DA、
18、DC，由图得，=，H为ABC的垂心，CHAB，AHBC，BD为直径，DAAB，DCBCCHAD，AHCD，故四边形AHCD是平行四边形，=又=+，=+=+=+，对比系数得到m=1故答案为：1点评：本题考查了向量的线性运算的应用，一般的做法是根据图形找一个封闭的图形，利用向量的加法表示出来，再根据题意进行转化到用已知向量来表示，考查了转化思想16（4分）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有专题：压轴题分析：由平行平面的性质可得是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故正确，错误解答：解：平面AB平面DC，平面BFDE平面AB=E
19、B，平面BFDE平面DC=DF，EBDF，同理可证：DEFB，故四边形BFDE一定是平行四边形，即正确；：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故错误；：四边形BFDE在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即正确；：当E、F为棱中点时，EF平面BBD，又EF平面BFDE，此时：平面BFDE平面BBD，即正确故答案为：点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）考点：正弦函数的单调性；正弦函数的对称性；直线的斜率菁优网版权所
20、有专题：计算题；综合题分析：（）y=f（x）图象的一条对称轴是直线就是时函数取得最值，结合的范围，求出的值；（）利用正弦函数的单调增区间，直接求函数y=f（x）的单调增区间；（）利用导数求出导函数的值域，从而证明直线5x2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切解答：解：（）x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，kZ0，=（）由（）知=，因此由题意得2k，kZ所以函数的单调增区间为（）证明：|y|=，所以曲线y=f（x）的切线斜率取值范围为2，2，而直线5x2y+c=0的斜率为2，所以直线5x2y+c=0与函数的图象不相切点评：本小题主要考查三角函数性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力是综
21、合题，常考题型18（12分）考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有专题：证明题；综合题；转化思想分析：法一：（）证明面PAD面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（）过点B作BECA，且BE=CA，PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（）作ANCM，垂足为N，连接BN，说明ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（）求出，计算，推出APDC，然后证明CD
22、垂直平面PAD，即可证明面PAD面PCD；（），计算即可求得结果（）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明ANB为所求二面角的平面角求出，计算即可取得结果解答：法一：（）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD又CD面PCD，面PAD面PCD（）解：过点B作BECA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=a2=3b2，PB=，AC与PB所成的角为（）解：作ANCM，垂足为N，连
23、接BN在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC，BNCM，故ANB为所求二面角的平面角CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM在等腰三角形AMC中，ANMC=，AB=2，故所求的二面角为法二：因为PAPD，PAAB，ADAB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（）证明：因为，故，所以APDC又由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC面PAD又DC在面PCD上，故面PAD面PCD（）解：因，故
24、=，所以由此得AC与PB所成的角为（）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，x=1，y=1，z=要使ANMC，只需即，解得可知当时，N点坐标为，能使，有由得ANMC，BNMC所以ANB为所求二面角的平面角，故所求的二面角为arccos点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题19（12分）考点：等比数列的性质；数列的求和菁优网版权所有专题：综合题分析：（）设等比数列通式an=a1q（n1），根据S10可知a1大于零，当q不等于1时，根据sn=0，进而可推知1qn0且1q0，或1qn0且1q0，进而求得q的范围，当q=
25、1时仍满足条件，进而得到答案（）把an的通项公式代入，可得an和bn的关系，进而可知Tn和Sn的关系，再根据（1）中q的范围来判断Sn与Tn的大小解答：解：（）设等比数列通式an=a1q（n1）根据Sn0，显然a10，当q不等于1时，前n项和sn=所以0 所以1q0或0q1或q1当q=1时 仍满足条件综上q0或1q0（）bn=anq2anq=an（2q23q）Tn=（2q23q）SnTnSn=Sn（2q23q2）=Sn（q2）（2q+1）又因为Sn0，且1q0或q0，所以，当1q或q2时，TnSn0，即TnSn；当q2且q0时，TnSn0，即TnSn；当q=，或q=2时，TnSn=0，即Tn=
26、Sn点评：本题主要考查了等比数列的性质在解决数列比较大小的问题上，常利用到不等式的性质来解决20（12分）考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有分析：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率，由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量的可能取值是0，10，20，30，根据独立重复试验得到概率的分布列解答：解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1C330.53=0.875由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元得到变量的可能取值是0，10，20，30，=0，表示没有坑需要补种，根据独立重复试验得到概率P（=0）=C330.8753=0.670P（=10）=C320.87520.125=0.287P（=20）=C310.8750.1252=0.041P（=30）=0.1253=0.002变量的分布列是的数学期望为：E
