1、北京梦飞翔教育个性化辅导教案 学生： 教师： 时间： 年 月 日_段 课时： 教学内容函数的奇偶性、函数的周期性教学重点函数的奇偶性和函数的周期性的判定及应用教学难点函数的奇偶性的判断和性质、求函数的周期教学计划本次课内容对应教学计划中第 次课教学目标1理解函数的奇偶性的定义2会判断函数的奇偶性3掌握函数奇偶性的性质4了解函数的周期性一、 教学过程：函数的奇偶性【知识梳理】1、函数的奇偶性的定义：2.函数的奇偶性的判断：3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数定义域中含有0，
2、则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇函数的周期性【知识梳理】1函数的周期性的定义：2周期性的性质（1）若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；（2）若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；（3）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（4）若f(x+a)
3、=f(x+b) 则T=|b-a|；函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.二、课堂小结：三、课后反思：四、学生对于本次课的评价： 差 一般 满意 特别满意 学生签字：五、教师评定：1、 学生上次作业评价： 好 较好 一般 差 差或一般的原因 2、 学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差 差或一般的原因 教师签字： 学管师签字： _函数的奇偶性【相关结论】1、函数的奇偶性的定义： 2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断（2）利用定义的等价形式, ，（）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原
4、点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇【考点分析】考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|
5、x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；（4）题型2：证明抽象函数的奇偶性例1 .（09年山东）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数； 例2（1）函数，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数。（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用例1已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。 例2设函数对于任意的，都有，且时,（1）求证是奇函数；（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).
6、求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.函数的周期性【相关结论】1函数的周期性的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。2周期性的性质（1）若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；（2）若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；（3）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（4）若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|；函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.【考点分析】考点1函数的周期性例1设函数是定义域上的奇函数，对
7、任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例1 .（09年江苏题改编）定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则 _ 。 【巩固练习】1定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)13，f(1)2，则f(99)()A13B2 C. D. 2(2010郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意，R，总有f()f()f()2010，则下列说法正确的是()Af(x)1是奇函数 Bf(x)1是奇函数 Cf(x)2010是奇函数Df(x)2010是奇函数 3设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x(0,1)时，f(x)log(1x)
8、，则函数f(x)在(1,2)上()A是增函数，且f(x)0 C是减函数，且f(x)04(2010新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4 Cx|x6 Dx|x2 5对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_若f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；若对xR，有f(x1)f(x1)，则yf(x)的图象关于直线x1对称；若函数f(x1)的图象关于直线x1对称，则f(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图象关于直线x1对称 作业： 1设f(x)是连续的偶函数，且当x0时是单调函数，
9、则满足f(x)f的所有x之和为()A3 B3 C8 D82已知奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间7，3上()A是增函数且最小值为5 B是增函数且最大值为5C是减函数且最小值为5 D是减函数且最大值为5 3(2010江苏)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_4已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.函数的奇偶性【知识梳理】1、函数的奇偶性的定义：对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。对于函数的定义域内任意一个，都有或，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对
10、称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断（2）利用定义的等价形式, ，（）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的
11、和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇【考点分析】考点1 判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）；（3）；（4）题型2：证明抽象函数的奇偶性例1 .（09年山东）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证f (x)为奇函数； 解析令x = y = 0，则f (0) + f (0) = f (0) = 0令x(1
12、, 1) x(1, 1) f (x) + f (x) = f () = f (0) = 0 f (x) =f (x) f (x) 在(1，1)上为奇函数例2（1）函数，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数。（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。考点2 函数奇偶性、单调性的综合应用例1已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。 解析 是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数-2m-11-2m2,解得实数的取值范围是例2设函数对于任意的，都有，且时,（1）求证是奇函数；（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例3设函数f(x)是定义在R上的偶函
13、数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间. 解析设0x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.由f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3.又a23a+1=(a)2.函数y=()的单调减区间是结合0a3,得函数y=()的单调递减区间为，3).函数的周期性【知识梳理】1函数的周期性的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，
14、都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。2周期性的性质（1）若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；（2）若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；（3）如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；（4）若f(x+a)=f(x+b) 则T=|b-a|；函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.【考点分析】考点1函数的周期性例1设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立（1）证明：是周期函数，并指出周期；（2）若，求的值考点2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例1 .（09年江苏题改编）定义在上的偶函数满足对于恒成
15、立，且，则 _ 。 解析由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由已知等式得又由是上的偶函数得又在已知等式中令得，即所以 【巩固练习】 1定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x2)13，f(1)2，则f(99)()A13B2C. D.解析：由f(x)f(x2)13，知f(x2)f(x4)13，所以f(x4)f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4.所以f(99)f(3424)f(3).答案：C2(2010郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意，R，总有f()f()f()2010，则下列说法正确的是()Af(x)1是奇函数Bf(x)1是奇函数Cf(x)2010是奇函数Df(x
16、)2010是奇函数解析：依题意，取0，得f(0)2010；取x，x，得f(0)f(x)f(x)2010，f(x)2010f(x)f(0)f(x)2010，因此函数f(x)2010是奇函数，选D.答案：D3设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x(0,1)时，f(x)log(1x)，则函数f(x)在(1,2)上()A是增函数，且f(x)0C是减函数，且f(x)0解析：由题意得当x(1,2)时，02x1,0x10，则可知当x(1,2)时，f(x)是减函数，选D.答案：D4(2010新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6
17、 Dx|x2解析：当x0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x4或x0时是单调函数，则满足f(x)f的所有x之和为()A3 B3C8 D8解析：因为f(x)是连续的偶函数，且x0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)f，只有两种情况：x；x0.由知x23x30，故两根之和为x1x23.由知x25x30，故其两根之和为x3x45.因此满足条件的所有x之和为8.答案：C2已知奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为5，那么函数f(x)在区间7，3上()A是增函数且最小值为5B是增函数且最大值为5C是减函数且最小值为5D是
18、减函数且最大值为5解析：f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称f(x)在3,7上是增函数，f(x)在7，3上也是增函数f(x)在3,7上的最小值为5，由图可知函数f(x)在7，3上有最大值5.答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f(x)在区间3,7上的示意图，由图形易得结论3(2010江苏)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_解析：设g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，h(0)0，解得a1.答案：14已知函数f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且f(0)2，则f(4)_.解析：依题意有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案：2
