1、 学生教案数列求通项公式的方法一、叠加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一。2若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例2.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则练习1，已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案： 练习2.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 练习3. 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)
2、是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、叠乘法 1.。 -适用于： -这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若，则两边分别相乘得，例3. 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，练习1.已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为练习2.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.评注：
3、本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列an的通项公式.答案：-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，
4、以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式例4.已知数列中，求数列的通项公式。解：又是首项为2，公比为2的等比数列，即四逐项相减法（逐差法1）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例5已知数列中，求数列的通项公式。解：两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的练习已知数列中，求通项。答案：2形如： (其中q是常数，且n0,1) 若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边
5、同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例6已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略练习. 已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，
6、则,应用例7解法得：所以3形如 (其中k,b是常数，且)方法1：逐项相减法（逐差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为 ; 解题基本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列，公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例7 在数列中，求通项.（逐项相减法）解：， 时，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.练习. 在数列中，,求通项.（待定系数法）解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数
7、列为等比数列。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习1.数列中，若,且满足,求.答案： .练习2.已知数列，求数列的通项公式an.解：所以 又bn=1，所以.方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，六、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p0， 例10. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项
8、公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，（n2），求数列的通项公式. 答案：例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得设（同类型四）比较系数得， 由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。七、换元法 适用于含根式的递推关系例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则代入得即因为， 则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。八、逐差法2（逐项相减法）1、递推公式中既有，又有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例13 已知数列的各项均为正数，且前n
9、项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：对任意有 当n=1时，解得或当n2时， -整理得：各项均为正数，当时，此时成立当时，此时不成立，故舍去所以练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.答案： 2、对无穷递推数列例14 已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则 故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为数列的通项公式与求和练习1 练习2练习3练习4练习5 练 习6 练习7 练 8 若等比数列的前项和S2，则 练习9 求和：5，55，555，5555，； 练习10 求和： 练习11 已知求和： 练 习12 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且 ，（）求，的通项公式
10、；（）求数列的前n项和 答案 练习1答案：练习2 证明： (1) 注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以S(n)/n是等比数列 (2) 由(1)知，S(n)/n是以1为首项，2为公比的等比数列。 所以S(n)/n=1*2(n-1)=2(n-1) 即S(n)=n*2(n-1) (*) 代入a(n+1)S(n)*(n+2)/n得 a(n+1
11、)=(n+2)*2(n-1) (n属于N) 即a(n)=(n+1)*2(n-2) (n属于N且n1) 又当n=1时上式也成立 所以a(n)=(n+1)*2(n-2) (n属于N) 由(*)式得：S(n+1)=(n+1)*2n =(n+1)*2(n-2)*22 =(n+1)*2(n-2)*4 对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n练习3 答案：1)a1=S1=1/3(a1-1)a1=-1/2a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/23a2=a2-1+3/22a2=1/2a2=1/42)3Sn=an-13S(n-1)=a(n-1)-1相减：3an=an-a(n-1)2an=-a(n-1)an
12、/a(n-1)=-1/2所以an为等比数列！练习4 累加法，答案：练习5 累乘法，答案：练习6 待定系数法，答案：练习7 倒数法，答案：练习8 公式法，答案：练习9 答案：练习10 ，列项相消法，答案练习11，,列项相消法 1/(1+2+3+n)=1/n(n+1)/2=2/n(n+1)所以原式=1+2/2*3+2/3*4+2/n(n+1)=1+2*(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/n-1/(n+1)=1+2*1/2-1/(n+1)=2-2/(n+1) 练习12 （错位相减法） 答案：解：（）设的公差为，的公比为， 则依题意有且 解得，所以， （） ， ， 得 ，第 19 页 共 19 页
