1、1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把所选项前的字母填在题后括号内(1) 已知sin=，并且是第二象限的角，那么tg的值等于( )(A) (B) (C) (D) (2) 焦点在(1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是( )(A) y2=8(x+1)(B) y2=8(x+1)(C) y2=8(x1)(D) y2=8(x1)(3)函数y=cos4xsin4x的最小正周期是( )(A) (B) (C) 2(D) 4(4)如果
2、把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )(A) 12对(B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是( )(A) x=(B) x=(C) (D) (6) 如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标
3、方程为=，那么它的焦点的极坐标为( )(A) （0，0），（6，）(B) (3，0)，(3，0)(C) （0，0），（3，0）(D) (0，0)，(6，0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC0且BC0，那么直线Ax+By+C=0不通过( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(
4、B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12) (1)的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间7，3上是( )(A) 增函数且最小值为5(B) 增函数且最大值为5(C) 减函数且最小值为5(D) 减函数且最大值为5(14) 圆x2+2x+y2+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M=x|f (x
5、)0，N=x|g (x)0，那么集合x|f (x)g (x)=0等于( )(A) (B)(C)(D)二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分把答案填在题中横线上(16) arctg+arctg的值是_(17) 不等式1，那么a= (20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa那么这个球面的面积是 三、解答题：本大题共6小题；共60分(21) (本小题满分8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合(22) (本小题满分8分)已知复数z=1i, 求复数的模和辐角的主值(23) (本小题
6、满分10分)已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求点B到平面EFG的距离(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=x3+1在(，+)上是减函数 (25) (本小题满分12分)已知n为自然数，实数a1，解关于x的不等式logaxlogx12logxn (n2)logxlog(x2a)(26) (本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点若OPOQ，|PQ|=4，求双曲线的方程1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解
7、答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得
8、的累加分数五、只给整数分数一、选择题本题考查基本知识和基本运算每小题3分，满分45分(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题本题考查基本知识和基本运算每小题3分，满分15分(16) (17) x|2x1 (18) (19) 1+ (20) 3a2 三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质满分8分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)2sinxcosx+2cos2x 1分=1sin2x(1cos2x
9、) 3分=2sin2x+cos2x=2+sin(2x+) 5分当sin(2x+)=1时y取得最小值2 6分使y取最小值的x的集合为x|x=k，kZ 8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力满分8分解：= 2分=1i 4分1i的模r=因为1i对应的点在第四象限且辐角的正切tg=1，所以辐角的主值= 8分(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力满分10分解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EFBD，H为AO的中点BD不在平面EFG上否则，平面EFG和
10、平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾由直线和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离 4分 BDAC， EFHC GC平面ABCD， EFGC， EF平面HCG 平面EFG平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线 6分作OKHG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离 8分 正方形ABCD的边长为4，GC=2， AC=4，HO=，HC=3 在RtHCG中，HG=由于RtHKO和RtHCG有一个锐角是公共的，故RtHKOHCG OK=即点B到平面EFG的距离为 10分注：未证
11、明“BD不在平面EFG上”不扣分 (24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力满分10分证法一：在(，+)上任取x1，x2且x1x2 1分则f (x2) f (x1) = (x1x2) () 3分 x1x2， x1x20 4分当x1x20； 6分当x1x20时，有0； f (x2)f (x1)= (x1x2)()0 8分即 f (x2) f (x1)所以，函数f(x)=x3+1在(，+)上是减函数 10分证法二：在(，+)上任取x1，x2，且x1x2， 1分则 f (x2)f (x1)=xx= (x1x2) () 3分 x1x2， x1x20又 xx(xx)|x1x2|
12、x1x2 0， f (x2)f (x1) = (x1x2) ()0 8分即 f (x2) loga(x2a) 当n为奇数时，0，不等式等价于 logaxloga(x2a) 因为a1，式等价于 6分因为=，所以，不等式的解集为x|x 8分当n为偶数时，loga(x2a) 因为a1，式等价于 或 10分因为 12分所以，不等式的解集为x|x综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是x|；当n为偶数时，原不等式的解集是x|(26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力满分12分解法一：设双曲线的方程为=1依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 将式代入
13、式，整理得(5b23a2)x2+6a2cx(3a2c2+5a2b2)=0 3分设方程的两个根为x1，x2，若5b23a2=0，则=，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b23a20根据根与系数的关系，有 6分由于P、Q在直线y=(xc)上，可记为P (x1，(x1c)，Q (x2，(x2c)由OPOQ得=1，整理得3c(x1+x2)8x1x23c2=0 将，式及c2=a2+b2代入式，并整理得3a4+8a2b23b4=0，(a2+3b2)(3a2b2)=0因为a2+3b20，解得b2=3a2，所以 c=2a 8分由|PQ|=4，得(x2x1)2
14、=(x2c)(x1c)2=42整理得(x1+x2)24x1x210=0将，式及b2=3a2，c=2a代入式，解得a2=1 10分将a2 =1代入b2=3a2得b2=3故所求双曲线方程为x2=1 12分解法二：式以上同解法一 4分解方程得x1=，x2= 6分由于P、Q在直线y=(xc)上，可记为P (x1，(x1c)，Q (x2，(x2c)由OPOQ，得x1 x2(x1c)(x2c)=0 将式及c2=a2b2代入式并整理得3a4+8a2b23b4=0，即 (a2+3b2)(3a2b2)=0因a2+3b20，解得b2=3a2 8分由|PQ|=4，得(x2x1)2+(x2c)(x1c)2=42即(x2x1)2=10将式代入式并整理得(5b23a2)216a2b4=0 10分将b2=3a2代入上式，得a2=1，将a2=1代入b2=3a2得b2=3故所求双曲线方程为x2=1 12分
