1、2011-2018新课标(理科)圆锥曲线分类汇编一、选择填空【2011新课标】7. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ B ）（A） （B） （C）2 （D）3【2011新课标】14. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。【2012新课标】4. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ C ） 【解析】 是底角为的等腰三角形【2012新课标】8. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点
2、，；则的实轴长为（ C ） 【解析】设交的准线于得：【2013新课标1】4. 已知双曲线C:1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( C)A、y=14x （B）y=13x（C）y=12x （D）y=x【解析】由题知，即=，=，=，的渐近线方程为，故选.【2013新课标1】10、已知椭圆1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为 ( D )A、1 B、112 C、1 D、1【解析】设，则=2，=2， 得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，椭圆方程为，故选D.【2013新课标2】11. 设抛物线C：y22px(p
3、0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(C)Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x【解析】设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x05，则x05.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.将x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以C的方程为y24x或y216x.故选C.【2013新课标2】12. 已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分
4、，则b的取值范围是(B)A(0,1) B C D【2014新课标1】4. 已知F为双曲线C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（A）A. 3 B. 3 C. 3m D. 3m 【解析】双曲线C：x2my2=3m（m0）可化为， 一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0， 点F到C的一条渐近线的距离为=故选：A【2014新课标1】10. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（B ）A. 72 B. 3 C. 52 D. 2 【解析】设Q到l的距离为d，则|QF|=d， =4， |PQ|=3d，
5、 直线PF的斜率为2， F（2，0），直线PF的方程为y=2（x2），与y2=8x联立可得x=1，|QF|=d=1+2=3，故选：B【2014新课标2】10. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ D ）A. B. C. D. 【2014新课标2】16. 设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得OMN=45，则的取值范围是_-1,1_.【2015新课标1】5. 已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是（ A ）（A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）【解析】【
6、2015新课标1】14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为。【2015新课标2】7. 过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=（ C ）（A）2 （B）8 （C）4 （D）10【2015新课标2】11. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为（ ）（A）5 （B）2 （C）3 （D）2【2016新课标1】5. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ A ）（A）(1,3) （B）(
7、1,) （C）(0,3) （D）(0,)【解析】由题意知：，解得，解得，故A选项正确.【2016新课标1】10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为（ B ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】令抛物线方程为，D点坐标为（，），则圆的半径为，即A点坐标为（，），所以，解得，故B选项正确.【2016新课标2】4. 圆的圆心到直线 的距离为1，则a=（ A ）（A） （B） （C） （D）2【解析】圆化为标准方程为：，故圆心为，解得，故选A【2016新课标2】11. 已知，是双曲线E：的左，右焦点，
8、点M在E上，与轴垂直，sin ,则E的离心率为（ A ）（A） （B） （C） （D）2【解析】离心率，由正弦定理得故选A【2016新课标3】11. 已知O为坐标原点，F是椭圆C:1(ab0)左焦点，A、B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ A ）(A)(B)(C)(D)【2016新课标3】16. 已知直线l:mxy3m0与圆x2y212交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴并于C、D两点，若|AB|2，则|CD|_4_【2017新课标1】10. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过
9、F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ A ）A16B14C12D10【2017新课标1】15. 已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。【2017新课标2】9. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ A ）A2 B C D【解析】双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐
10、近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2故选：A【2017新课标2】16. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则 6 【解析】抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6【2017新课标3】5. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点则的方程为（ B ）ABCD【解析】双曲线的一条渐近线方程为，则又椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则由解得，则双曲线的方程为，故选B.【2017
11、新课标3】10已知椭圆（）的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ A ）ABCD【解析】以为直径为圆与直线相切，圆心到直线距离等于半径， , 又，则上式可化简为，可得，即 ，故选A【2018新课标1】8设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（ ）A5B6C7D8【答案】D【2018新课标1】11已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则（ ）AB3CD4【答案】B【2018新课标2】5双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）ABC D【答案】A【2018新课标2】12已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点
12、在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为（ ）A. BC D【答案】D【2018新课标3】6直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【2018新课标3】11设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为（ ）AB2CD 【答案】C【2018新课标3】16已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【答案】2二、解答题【2011新课标】20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB/OA， MAAB = MBBA，M点的轨迹为曲线C。（1）求C的方程
13、；（2）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。【解析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).由题意得知（+）=0,即（-x,-4-2y）(x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=x-2.(2)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。则O点到的距离.又，所以，当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.【2012新课标】20. 设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）
14、若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边点到准线的距离， 圆的方程为（2）由对称性设，则点关于点对称得：得：，直线切点直线坐标原点到距离的比值为。【2013新课标1】20. 已知圆M：(x1)2y2=1，圆N：(x1)2y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C。（1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为（，），半径为R.（1）
15、圆与圆外切且与圆内切，|PM|+|PN|=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（2）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=2，R2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，|AB|=.当=时，由图形的对称性可知|AB|=。 综上，|AB|=或|AB|=.【2013新课标2】20. 平面直角坐标系x
16、Oy中，过椭圆M：(ab0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，由此可得. 因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2. 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23. 所以M的方程为.(2)由 解得或 因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为 y，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260. 于是x3,4.因为直线CD的斜率为1， 所以|CD
17、|.由已知，四边形ACBD的面积.当n0时，S取得最大值，最大值为. 所以四边形ACBD面积的最大值为.【2014新课标1】20. 已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【解析】（1）设F（c，0），直线AF的斜率为， ，解得c=又，b2=a2c2，解得a=2，b=1椭圆E的方程为；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2联立，化为（1+4k2）x216kx+12=0， 当=16（4k23）0时
18、，即时，|PQ|=， 点O到直线l的距离d=SOPQ=，设0，则4k2=t2+3，=1，当且仅当t=2，即，解得时取等号满足0，OPQ的面积最大时直线l的方程为：【2014新课标2】20. 设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.【解析】（1）根据c=a2-b2以及题设知M（c，b2a），2b2=3ac，将b2=a2-c2代入2b2=3ac，解得ca=12，ca=-2（舍去），故C的离心率为12（2）由题意，原点O的F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y
19、轴的交点D是线段MF1的中点，故b2a=4，即 b2=4a 由MN=5F1N得DF1=F1N设N（x，y），由题意可知yb0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上。（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点。【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上，因此，解得，故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（
20、t，）.，则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得，由题设可知.，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即，解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）【2017新课标2】20. 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足。（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=-3上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【解析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=可得（xx0，y）=（0，y0），可得xx0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2。（2）证明：设Q（3，m），P（cos，sin），（02），=1，可得（cos，sin）（3cos，msin）=1，即为3cos2cos2+msin2sin2=1，解得m=，即有Q（3，），椭圆+y2=1的左焦点F（1，0），由kOQ=，kPF=，由kOQkPF=1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【2017新课标3】20. 已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆。（1）证明：坐标原点在圆上；（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程。
