1、第 1 页 共 10 页函数的零点函数的零点.【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断3.判定函数零点(方程的根)所在的区间4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主(1)函数与方程的关系：函数 f(x)有零点方程 f(x)0 有根函数 f(x)的图象与 x 轴有交点f(x)与 g(x)有交点f(x)=g(x)函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图像与函数 yg(x)的图像
2、交点的横坐标(2)函数 f(x)的零点存在性定理：如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使 f(c)0.注：如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数 f(x)在区间a，b上是一个单调函数，那么当 f(a)f(b)0，那么，函数 f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点 如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数 f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有 f(a)f(b)0.(3)判定函数零点的方法:解方程法；利用零点存在性定理判定；
3、数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(2013重庆)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内(2)函数 f(x)Error!Error!的零点个数是()A0 B1 C2 D3第 2 页 共 10 页答案(1)A(2)D解析(1)由于 ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有 f(a)f(b)0，f(b)f(c)0 时，在同一个直角坐标系中分别作出 yln x 和 yx22x(x1)21 的图象，可知它们
4、有两个交点；当 x0 时，作出 y2x1 的图象，可知它和 x 轴有一个交点综合知，函数 yf(x)有三个零点(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解(2)提醒：函数的零点不是点，是方程 f(x)0 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零函数的零点也就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标(1)(2012天津)函数 f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个
5、数是()A0 B1 C2 D3(2)已知函数 f(x)axxb 的零点 x0(n，n1)(nZ)，其中常数 a、b 满足 2a3,3b2，则 n_.答案(1)B(2)1解析(1)先判断函数的单调性，再确定零点因为 f(x)2xln 23x20，所以函数 f(x)2xx32 在(0,1)上递增，且 f(0)10210，所以有 1 个零点(2)f(x)axxb 的零点 x0就是方程 axxb 的根设 y1ax，y2xb，故 x0就是两函数交点的横坐标，如图，当 x1 时，y11alog32y21b1log32，1x00，n1.(2013青岛模拟)函数 f(x)log2x1x的零点所在的区间为()A
6、(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解答由 f(1)10 可得 f(x)在(1,2)内必有零点 答案 B第 3 页 共 10 页2.若函数 f(x)Error!Error!则函数 F(x)xf(x)1 的零点的个数为()A4 B5 C6 D7解答据题意，函数 F(x)xf(x)1 的零点个数可转化为函数 yf(x)与函数 y1x图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图像如图所示：由图可知共有 6 个交点，故函数 F(x)xf(x)1 的零点个数为 6.答案 C(2013武汉模拟)定义运算 M：xyError!Error!设函数 f(x)(x23)(x1)，若函数 yf(x)c 恰
7、有两个零点，则实数 c 的取值范围是()A3，2)B3，23，)C2,2 D(3，2)2，)解答由 x23x1 解得 x1 或 x2，所以 f(x)Error!Error!函数 yf(x)c 恰有两个零点，即函数 yf(x)，yc 的图像恰有两个交点，作出函数 yf(x)，yc 的图像如图，由图可知3c2 或 c2 时，两个图像有两个不同的交点，故实数 c 的取值范围是(3，2)2，)答案 D3函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)解析：函数 f(x)有一个零点在(1,2)内，f(1)f(2)0，即a
8、(3a)0，0a0 时，函数 yff(x)1 的零点个数为()A1 B2 C3 D4解析：结合图像分析，当 k0 时，ff(x)1，则 f(x)t1(，1k)或 f(x)t2(0,1)对于 f(x)t1，存在两个零点 x1，x2；对于 f(x)t2，存在两个零点 x3，x4，共存在 4 个第 4 页 共 10 页零点(2013潍坊模拟)函数 f(x)Error!Error!若函数 yf(x)kx 有三个零点，则 k 的取值范围为_考题揭秘本题考查二次函数、对数函数的图像、性质以及函数的零点问题，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力审题过程第一步：审
9、条件题目已知函数 f(x)的解析式以及函数 yf(x)kx 有三个零点第二步：审结论求实数 k 的取值范围第三步：建联系问题等价于函数 yf(x)的图像与直线 ykx 有三个不同的交点规范解答显然 x0 是函数 yf(x)kx 的一个零点因此只要函数 yf(x)的图像与直线 ykx 的图像在 x0 时有两个不同的交点即可 又函数 f(x)在(，)上单调递增，结合函数图像，只需寻找函数 yf(x)的图像与直线 ykx 有两个交点的条件即可画出函数 yf(x)及 ykx 的图像，如图所示当直线 ykx 与曲线 yln(x1)相切时，y1x1在 x0 时恰好等于 1，即 k1，所以直线 yx 与曲线
10、 yln(x1)恰好相切于坐标原点结合图像，可知只有当 0k12时，函数 ykx 与函数 yx212x 的图像在(，0)上才存在交点要 使 y f(x)kx 有 三 个 零 点，则 k 的 值 为 上 述 两 个 k 值 的 交 集，故第 5 页 共 10 页12k1.答案(12，1)1设方程 3x|lg(x)|的两个根为 x1，x2(x1x2)，则()Ax1x21 D0 x1x22解析：在同一平面直角坐标系中画出函数 y3x和 y|lg(x)|的图像，可知2x11，1x20，所以 0 x1x22.答案：D2当 x(3,4)时，不等式 loga(x2)(x3)20 恒成立，则实数 a 的取值范
11、围是()A2，)B(1,2 C.1,21 D21,0解析：由 loga(x2)(x3)20 知(x3)21，数形结合可知)24(log1a(43)2，即2log1aaa1log1，故1a2，a12，故12 a1.答案：C1 已知函数 f(x)(13)xlog2x，实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)0(0abc)，若实数 x0为方程 f(x)0 的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是()Ax0b Cx0c答案D第 6 页 共 10 页解析函数 f(x)(13)xlog2x，在其定义域(0，)上是减函数，0abf(b)f(c)又f(a)f(b)f(c)0，则 f(a)0，f(b)
12、0，f(c)0，f(b)0，f(c)0.若 f(a)0，f(b)0，f(c)0，则 x00，f(b)0，f(c)0，则 bx0c 不可能成立，故选 D.2 若 f(x)11fx1，当 x0,1时，f(x)x，若在区间(1,1内，g(x)f(x)mxm 有两个零点，则实数 m 的取值范围是()A0，12)B12，)C0，13)D(0，12答案D解析根据方程与函数关系设 x(1,0)，则 x1(0,1)，f(x)1fx111x11，画出 f(x)在(1,1上的图象(如右图)，g(x)f(x)mxm 在(1,1上有两个零点，即 f(x)m(x1)有两个不同根，即 yf(x)与 ym(x1)有两个不同
13、交点如右图，当过(1,0)的直线处于 l 与 x 轴之间时，满足题意，则 0m12.1卖店函数 f(x)log2x1x的零点所在的区间为()A(0，12)B(12，1)C(1,2)D(2,3)解析函数 f(x)的定义域为(0，)，且函数 f(x)在(0，)上为增函数f(12)log2121121230，f(1)log2111010，第 7 页 共 10 页f(3)log2313113230，即 f(1)f(2)0，又 f(0)010，则在区间(1,0)内有 1 个零点；又 f(2)22220，f(4)42240，故有 3 个零点答案3(2012湖北高考)函数 f(x)xcos 2x 在区间0,
14、2上的零点的个数为()A2 B3 C4D5解析令 f(x)xcos 2x0，x0 或 cos 2x0，即 x0 或 2xk2，kZ.x0,2，x0，4，34，54，74，故选 D.(2013天津调研)函数 f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D3思路点拨先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数解析因为 f(x)2xln 23x20，所以函数 f(x)2xx32 在(0,1)上递增又 f(0)10210，f(1)21210，所以有 1 个零点(2013湛江模拟)设函数 yx3与 y221x图象的交点为(x0，y0)，则 x0所在的区间是
15、()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)第 8 页 共 10 页思路点拨画出两个函数的图象寻找零点所在的区间解析 设 f(x)x3221x，x0是函数 f(x)的零点在同一坐标系下画出函数 yx3与 y221x的图象，如图所示f(1)112110，f(2)802170，f(1)f(2)0，又f(x)为单增函数，x0(1,2)已知函数 f(x)Error!Error!若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_解析在坐标系内作出函数 f(x)Error!Error!的图象，如右图所示，发现当 0m0，不成立，所以选 D.3 函数 f(x)2x2xa 的一个零
16、点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)解析因为 f(x)2xln 22x20，所以 f(x)是增函数，由条件可知 f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即 a(a3)0，解之得 0a0)的解集为 P，则 P 中所有元素的和可能是()A3,6,9 B6,9,12 C9,12,15 D6,12,15答案B解析令 f(x)|x26x|，作图象如下：知 f(x)|x26x|的图象关于直线 x3 对称，它与直线 ya 交点的个数为 2,3 或 4 个所以方程根的和为 6,9,12.选 B.10已知函数 f(x)Error!Error!且关于 x 的方程 f(x)xa0，有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_第 10 页 共 10 页解析画出函数 yf(x)与 yax 的图象，如图所示，所以 a1.答案(1，)
