1、自考04184线性代数经管类讲义第二章 矩 阵第二章 矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由mn个数aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一个m行n列的数表 用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是：这mn个数排成一个矩形阵列。其中aij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（aij）mn或（aij）mn或Amn当m=n时，称A=（aij）nn为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它
2、不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Omn或者O（大写字）表示。特别，当m=1时，称=（a1，a2，an）为n维行向量。它是1n矩阵。当n=1时，称为m维列向量。它是m1矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念
3、“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n阶数量矩阵有如下形式：或。（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。n阶单位矩阵记为En或In，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。n阶数量矩阵常用aEn或aIn表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。对角矩阵必须是方阵。一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。4.零矩阵 （可以是方阵也可以不是方阵）2.2矩阵运算
4、本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2.2.1矩阵的相等（同）设A=（aij）mn，B=（bij）kl，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等。特别，A=（aij）mn=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如因为两个矩阵中（1，2）位置上
5、的元素分别为0和2。但是却有行列式等式 （因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）2.2.2矩阵的加、减法定义2.2.2设A=（aij）mn和B=（bij）mn，是两个mn矩阵。由A与B的对应元素相加所得到的一个mn矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即A+B=（aij+ bij）mn。即若则当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。例如注意：（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如 （阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。）（2）阶数
6、大于1的方阵与数不能相加。（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）若A=（aij）为n阶方阵，n1，a为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（aij）mn与数量矩阵aEn可以相加： （把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了）矩阵的加法满足下列运算律：设A，B，C都是mn矩阵，O是mn零矩阵，则（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+CA=B.2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）定义2.2.3对于任意一个矩阵A=（aij）mn和任意一个数k，规定k与A的乘积为kA=（kaij）m
7、n.（矩阵里的第个原数都乘以数K）即若 则由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数k与行列式Dn的乘积只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积。数乘运算律（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数。（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。例1已知求2A-3B。解例2已知且A+2X=B，求X。解：（注意是乘以矩阵里的每个元素）2.2.4乘法运算设矩阵A=（aij）mk，B=（
8、bij）kn，令C=（cij）mn是由下面的mn个元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n）构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。由此定义可以知道，两个矩阵A=（aij）和B=（bij）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。例3若且，AB=C，求矩阵C中第二行第一列中的元素C21解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和C21=21+ 13+ 00=5 例4设矩阵
9、求AB解：=这里矩阵A是33矩阵，而B是32矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以BA没有意义。例5求（1）A3E3（2）E3A3解：（1） （2）由本例可见A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有它与代数中的1a=a1=a比较可见单位矩阵En在乘法中起单位的作用。例6设矩阵求AB和BA解：现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。（差别）例7设 求（1）AB（2）AC解（1）（2）可见AB=AC众所周知，两个数的乘积是可交换的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.两
10、个非零数的乘积不可能为零。因此，当ab=0时，必有a=0或b=0。当ab=ac成立时，只要a0，就可把a消去得到b=c。（这条只满足数，不满足矩阵）由矩阵乘法及上述例6、例7可知：（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般ABBA。（4）当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消去律。（5）当AB=AC时，一般不能推出B=C。（消去律）若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交换。此时，A与B必为同阶方阵。矩阵乘法不满足消去
11、律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。例8设矩阵，求出所有与A可交换的矩阵。（即AB=BA）解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与A可交换的矩阵，则由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。（对角线必须一样）例9解矩阵方程，X为二阶矩阵。解 设。由题设条件可得矩阵等式：由矩阵相等的定义得 （列出两组方程式）解这两个方程组可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。 乘法运算律（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。 （
12、不改变顺序）（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）两种乘法的结合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k为任意实数。（4）EmAmn=Amn，AmnEn=Amn（其中Em，En分别为m阶和n阶单位矩阵）。矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。方阵的方幂设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。我们定义A的幂（或称方幂）为由定义可知，n阶方阵的方幂满足下述规则：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l为任意正整数。例10用数学归纳法证明以下矩阵等式：（1）（2）。证（1）当n=1时
13、，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即 知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式成立。 （2）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即则知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式都成立。例11设n阶方阵A和B满足，证明： 。证：由可推出B=2A-En。再由B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En 证得因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A
14、2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。（3）当AB=BA时必有（AB）k=AkBk.（只有两者两等时成立）例如AB=BA时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2但ABBA时，则上面结果不成立。例13设，则有因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：（1）AB=O，AO不能推出B=O。例如时（两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也可能等于零）（2）由A2=O不能推出A=O。例如则（3）由AB=AC，AO不能推出B=C。例如时（同系数两个数或是两个数的平方相等）即AB=AC，但BC（4）由A2=B2不能推出A=B。
15、例如，取则2.2.5矩阵的转置设矩阵把矩阵的行与列互换得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A，即易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行（列）向量的转置矩阵为n维列（行）向量。例如，则若A=（a1，a2，an）则若则BT=（b1，b2，bn）例15求（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT解：（1）（2）（3）（4）由本例可见（AB）T=BTAT，这一结果有普遍性（不证）转置运算律（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k为实数。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n-1TA1T.设A=（aij）为n阶实方阵。若
16、A满足AT=A，也就是说A中元素满足：aij=aji，i，j=1，2，n，则称A为实对称矩阵。若A满足AT=-A，也就是说A中元素满足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此时必有aii=0，i=1，2，n，则称A为实反对称矩阵。实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中，我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵，因此，往往省略一个“实”字。例如，都是对称矩阵；都是反对称矩阵。例17：（1）设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P，PTAP必为对称矩阵。（2）如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？证（1）因为A是对称矩阵，必有AT=A（满足这个条件），于是必有（PTAP）T=P
17、TATP=PTAP 这说明PTAP必为对称矩阵。（2）反之，如果PTAP为n阶对称矩阵：（PTAP）T=PTAP，则有PTATP=PTAP，但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是对称矩阵。2.2.6方阵的行列式 由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作或det（A）。即，如果，则。例如，的行列式为。 注意（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“”与矩阵记号“（*）”也不同，不能用错。（2）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。（3）当且仅当为n阶方阵时，才可取行列式。
18、对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积。特别，。，例18 设且有。求解：所以由本例可见一般地应有方阵的行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则（1）；（2）；（3）。（行列式乘法规则）（1），（2）的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。（3）的证明从略。例19 设，则，。于是得，。例20 设A，B同为n阶方阵。如果AB=O，则由知道，必有或。但未必有A=O或B=O。例21 证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。证：设A为2n-1阶反对称矩阵，则有。于是根据行列式性质1和性质2，得到，因为是数，所以必有。2.2.7方阵
19、多项式 任意给定一个多项式和任意给定一个n阶方阵A，都可以定义一个n阶方阵，称f（A）为A的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。例22：设，求f（A）。解：例23：若A=B-C，其中，。证明证：由 2.3方阵的逆矩阵我们知道，对于任意一个数a0，一定存在惟一的数b，使ab=ba=1，这个b就是a的倒数，常记为。而且a与b互为倒数。对于方阵A，我们可类似地定义它的逆矩阵。 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B，使得（其中是n阶单位阵）则称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵），并称方阵B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为，即。若满足（2.5）式
20、的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。由逆矩阵的定义可见若B是A的逆矩阵。则反过来A也是B的逆矩阵。即若，则有 可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数k0，则（1）为可逆矩阵，且（2）（3）证推广有 （4）证 （5）证 （6）（7）若A可逆且AB=AC，则有消去律B=C证：如何判定一个给定方阵是否可逆呢？为了回答这个问题，我们先给出下面的概念。定义2.3.2设，为的元素的代数余子式（i,j=1,2,n），则矩阵称为A的伴随矩阵，记为。 由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，必须放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是说，的第i行元素的代数余子式，构成的第i列元素
21、。由1.4节中的定理1.4.1可得 ，即（2.7）类似可得（2.8）现在我们来证明下面的重要定理。这个定理给出了判定一个n阶方阵是否可逆的一个充要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法。 n阶方阵A为可逆矩阵。 推论：设A，B均为n阶矩阵，并且满足，则A，B都可逆，且，。例1 若，求解：例如：解：例2 设，当a，b，c，d满足什么条件时，矩阵A是可逆矩阵？当A是可逆矩阵时，求出。解：A可逆。当A可逆时，例1，例2的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式例如，例3 判断矩阵是否可逆，求出它的逆矩阵。解（1）由于故矩阵A可逆。（2）逐个求出代数余子式和伴随矩阵：，；。于是。由上例可以
22、看出，当n3时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n4时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。例4 设A为n阶方阵，则。证：由知道。当时，显然有。例5 若。求A的逆矩阵和A+E的逆矩阵。解：（1） （2）例6 设A是3阶方阵且，求（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）2.4分块矩阵分块矩阵理论是矩阵理论中的重要组成部分，在理论研究和实际应用中，有时会遇到行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常对矩阵采用分块的方法，即用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块（子矩阵），以子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。例如，设，令，则A的一个分块矩阵为这样A
23、可以看成由4个子矩阵（子块）为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上述分块矩阵中有两个块行、两个块列。 mn矩阵的分块矩阵的一般形式为对于同一个矩阵可有不同的分块法。采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵。对于任意一个mn矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法：行向量表示法，其中，i=1，2，m；列向量表示法，其中，j=1，2，n。前者也称为将A按行分块，后者也称为将A按列分块。例如，令，以及，可分别得到A的行分块矩阵和列分块矩阵：，。下面我们介绍4种最常用的分块矩阵的运算。需要特别指出的是，分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的
24、表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运算。2.4.1分块矩阵的加法把mn矩阵A和B作同样的分块：，其中，的行数的行数；的列数的列数，1ir，1js，则例1 设，都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和，求出行列式的值。解：根据分块矩阵加法的定义知道，A+B的前三列都有公因数2，利用行列式性质2，提出公因数后可以求出再利用行列式的性质5，把它拆开以后，即可求出 2.4.2数乘分块矩阵数k与分块矩阵的乘积为2.4.3分块矩阵的转置设则其转置矩阵为 分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转”。例2，我们发现：不但每个子矩阵的位置作了转置，而且每个子矩阵的内部也作了转置。例3 设是一个用列向量表示的mn阵，其中每个都是m维列向量，则A的转置矩阵是例如，设，则2.4.4分块矩阵的乘法和分块方阵求逆设矩阵，。利用分块矩阵计算乘积AB时，应使左边矩阵A的列分块方式与右边矩阵B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，A的各子块分别左乘B的对应的子块。设A，B的分块方式分别为，则，其中（i=1,2,r,j=1,2,t）。例4 对于矩阵，用分块矩阵计算AB。解：将矩阵A，B分块如下：，其中，于是得到因为，所以。例5 设A为mk矩阵，B为kn矩阵，则AB为mn矩阵。若把B采用列向量表示：，则
