1、全等三角形复习经典练习题全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1 “边边边”例题、已知：如图，AD = BC, AC = BD.试证明：/CAD =/DBC.类型二、全等三角形的判定2 “边角边”例题、已知，如图，在四边形 ABCD中，AC平分/BAD , CE丄AB于E,并且1AE= (AB + AD )，求证：/ B+/D = 180 类型三、全等三角形的判定3 “角边角”例题、已知：如图，在 MPN中，H是高MQ和NR的交点，且 MQ = NQ .求证：HN = PM.例题、已知 RtKBC 中，AC= BC,/C= 90 ,D 为 ABEDF = 90。，启DF绕D点旋转，它的两
2、边分别交 AC、边的中点，/CB于E、F.当1ZEDF绕D点旋转到DE丄AC于E时(如图1 )，易证SA def Sa cef -Sa abc ；当ZEDF绕D2点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明;若不成立，请写出你的猜想，不需证明类型五、直角三角形全等的判定 一一“ HLF列说法中，正确的画“V” ；错误的画“X”，并举出反例画出图形.(1) 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等. ( )(2) 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等. ( )(3) 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等. ( )(1) V; (2 )
3、X；在 ABC 和 ADBC 中，AB = DB，AE 和 DF 是其中一边上的高， AE= DF(3) X.在AABC和AABD中，AB = AB，AD = AC，AH为第三边上的高，如下图：求证：AB /DC.2、如图，AABC 中，/ACB = 90 ,AC = BC, AE 是 BC 边上的中线，过C作CF丄AE,垂足为F,过B作BD丄BC交CF的延长线于D.(1) 求证：AE = CD;(2) 若 AC= 12 cm，求 BD 的长.启发：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角 形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判
4、定方法，看 缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质心为P ,三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三 角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交 于一点这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心所以到 边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内 心为巳，P3,巳，这四个点到 ABC三边所在直线距离相等角的平分线的性质及判定1、如图，AD是/BAC的平分线，DE丄AB，交AB的延长线于点E，DF丄AC于点F,且DB = DC.求证：BE= CF.2、如图，AC=DB，PAC与PBD的面积相等.求证：0P平分ZAOB .启发：观察已
5、知条件中提到的三角形厶PAC与PBD， 显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果3、如图，DC /AB，/BAD和ZADC的平分线相交于 E,过E的直线分别交DC、AB于C、B两点.求证：AD = AB + DC.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1) 作公共边可构造全等三角形：1、在4ABC 中，AB = AC.求证：/B=/C类型一、全等三角形的性质和判定 如图，已知：AE丄AB , AD 丄AC , AB = AC,ZB=ZC, 求证：BD = CE.倍长中线法:1、已知：
6、如图所示，CE、CB分别是ABC与ADC的中线,且/ACB = /ABC .求证：CD= 2CE.5和7,则第三边的中线长x的取值范B.5 v x v 7 C.2 v x v 122、若三角形的两边长分别为围是( )A.1 v x v 6(3) .作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD是 ABC的角平分线，H , G分别在AC , AB上，且HDBD.(1)求证：/B 与ZAHD互补；若/B + 2/DGA = 180。，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.(3).利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD是ABC的角平分线，AB AC,求
7、证：AB AC BD DCAD2、如图所示，已知 ABC中ABAC, AD是/BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB MC VAB AC .启发：因为AB AC,所以可在AB上截取线段AE= AC,这时BE= AB AC,如果连接EM , 在BME中，显然有MB ME V BE.这表明只要证明 ME = MC ,则结论成立.充 分利用角平分线的对称性，截长补短是关键(4) 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点 F 在 BC 上，且ZDAE = /FAE.求证：AF = AD + CF.启发 与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取
8、相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 四边形ABCD为正方形，则/D = 90。.而DAE平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离,的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知 ME = DE.AE= AE.RtAME与RtADE全等有AD = AM .而题中要证 AF = AD + CF.根据图知 AF = AM +MF .故只需证MF = FC即可.从而把证AF = AD + CF转化为证两条线段相等的问题.2、如图所示，在 ABC 中，AC=BC，/ACB=90 ,D 是 AC 上一点，1且AE垂直BD的延长线于E， AE BD，求证
9、：BD是/ABC的平分线.2FC2(点评)如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助 线的添加方法类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用;(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程, 其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在厶 ABC 中，/BAC = 90 ,AB = AC，点 D 为 射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF .(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图1 , 求证：CF= BD(2)当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2,第(1)问中的结论是否仍然成立，并说明理由
