1、相似体表面积的比等于_;相似体体积的比等于_。(3)假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一个人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m,体重为18kg,到了初三,我们称是这个五边形的一条中对线,如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分。求证:五边形的每条边都有一条对角线和它平行。例4(2007年连云港市)如图4(1),点C将线段AB分成两部分,如果AC:AB=BC:AC,那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为、,如果,那
2、么称直线l为该图形的黄金分割线。(1)研究小组猜想:在ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点,如图4(2),则直线CD是ABC的黄金分割线。你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DFCE,交AC于点F,连结EF,如图4(3),则直线EF也是ABC的黄金分割线。请你说明理由。(4)如图4(4),点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EFAD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线,请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形
3、ABCD各边的黄金分割点。四、定义一种新的点例5(2006年安徽省实验区)如图6,凸四边形ABCD,如果点P满足APD=APB=,且BPC=CPD=,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。(1)在图8的正方形ABCD内画一个半等角点,且满足。(2)在图9的四边形ABCD中画一个半等角点,保留画图痕迹(不需写出画法)。(3)若四边形ABCD有两个半等角点(如图7),证明线段上任意一点也是它的半等角点。例6(2007年宁波市)四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线的两端点的距离不相等,但到另一对角线的两端点的距离相等,则称这个点为这个四边形的准等距点,如图10(1),点P为四边形ABC
4、D对角线AC所在直线上的一点,PD=PB,PAPC,则点P为四边形ABCD的准等距点。(1)如图10(2),画出菱形ABCD的一个准等距点;(2)如图10(3),作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)(3)如图10(4),在四边形ABCD中,P是AC上的点,PC,延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F,且CDF=CBE,CE=CF,求证:点P是四边形ABCD的准等距点;(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数,不必证明)。五、定义一种新的三角形 例7 (2005年天津市)在ABC中,A、B、C所对的边分别用a、b、c表示
5、。(I)如图11,在ABC中,A=2B,且B=,求证;(II)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”,本题第(I)问中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对任意的倍角三角形ABC,其中A=2B,如图12,关系式是否仍然成立?并证明你的结论;(III)试求出一个倍角三角形的三条边长,使这三条边长恰好为三个连续的正整数。六、定义一种新的矩形例8(2005年资阳市)阅读以下短文,然后解决下列问题:如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图13所示,矩形A
6、BEF即为ABC的“友好矩形”,显然,当ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个。(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”。(2)如图14,若ABC为直角三角形,且C=,在图14中,画出ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;(3)若ABC是锐角三角形,且BCACAB,在图15中画出ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形,并加以证明。七、定义一种新的四边形例9(2006年北京市)我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等,则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题:(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称;(2)探究
7、:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时,这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系,并证明你的结论。例10(2007年北京市课标卷)我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称。(2)如图18,在ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于点O,若A=,DCB=EBC=A/2。请写出图中一个与A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;(3)在ABC中,如果A是不等于的锐角,点D、E分别在AB、AC上,且DCB=EBC=A/2,探究:满足上述条件
8、的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论。八、定义一种新的相似形例11(2005年嘉兴市)某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质可以拓展到扇形的相似中去。例如,可以定义:“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质:弧长比等于半径比,面积比等于半径比的平方请你协助他们探索这个问题。(1)写出判定扇形相似的一种方法:若_,则两个扇形相似;(2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半径为a,弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为_;(3)图20是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为,AB长为,现要做一个和它形状相同,面积是它一半的纸扇(如图21),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径。